Theorem ballotlemfc0 30554

Description: F takes value 0 between negative and positive values. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Nov-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotlemfp1.c	|- ( ph -> C e. O )
ballotlemfp1.j	|- ( ph -> J e. NN )
ballotlemfc0.3	|- ( ph -> E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
ballotlemfc0.4	|- ( ph -> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfc0	|- ( ph -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F   k, F   C, i   i, J   ph, i, k   k, J   C, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, c)   C( x, c)   P( x, i, k, c)   F( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemfc0

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` k ) )
2	1	breq1d 4663	. . . . . 6 |- ( i = k -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
3	2	elrab 3363	. . . . 5 |- ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } <-> ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
4	3	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) <-> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) )
5		simprlr 803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 )
6		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> k e. ( 1 ... J ) )
7	6	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> k e. ( 1 ... J ) )
8		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... J ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
9		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
10	8, 9	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... J ) C_ ZZ
11		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ZZ C_ RR
12	10, 11	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... J ) C_ RR
13	12	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. RR )
14	13	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k < ( k + 1 ) )
15		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> 1 e. RR )
16	13, 15	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. RR )
17	13, 16	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
18	14, 17	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
19	7, 18	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
20		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k )
21		ballotlemfc0.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) )
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k = J ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) )
23		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k = J ) -> k = J )
24	23	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = ( ( F ` C ) ` J ) )
25	24	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) ) )
26		ballotlemfp1.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> J e. NN )
27		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( J e. NN <-> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28	26, 27	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
29		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> J e. ( 1 ... J ) )
30	28, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. ( 1 ... J ) )
31		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = J -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> J e. ( 1 ... J ) ) )
32	30, 31	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( k = J -> k e. ( 1 ... J ) ) )
33	32	anc2li 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k = J -> ( ph /\ k e. ( 1 ... J ) ) ) )
34		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
35		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 0 ... J ) )
36	35	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ( 0 ... J ) ) )
37	34, 36	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ( 0 ... J ) )
38		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> 0 e. RR )
39		ballotth.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- M e. NN
40		ballotth.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- N e. NN
41		ballotth.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
42		ballotth.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
43		ballotth.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
44		ballotlemfp1.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> C e. O )
45	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> C e. O )
46		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( 0 ... J ) -> k e. ZZ )
47	46	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> k e. ZZ )
48	39, 40, 41, 42, 43, 45, 47	ballotlemfelz 30552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
49	48	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. RR )
50	38, 49	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
51	37, 50	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... J ) ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
52	33, 51	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k = J -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) )
53	52	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
54	25, 53	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` J ) <-> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
55	22, 54	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k = J ) -> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 )
56	55	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k = J -> -. ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) )
57	56	con2d 129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 -> -. k = J ) )
58		nn1m1nn 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. NN -> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
59	26, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
60		ballotlemfc0.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
61	60	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
62		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J = 1 -> ( J ... J ) = ( 1 ... J ) )
63	62	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( J ... J ) = ( 1 ... J ) )
64	26	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> J e. ZZ )
65		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( J e. ZZ -> ( J ... J ) = { J } )
66	64, 65	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( J ... J ) = { J } )
67	66	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( J ... J ) = { J } )
68	63, 67	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( 1 ... J ) = { J } )
69	68	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 ) )
70	61, 69	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
71		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = J -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` J ) )
72	71	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = J -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
73	72	rexsng 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( J e. NN -> ( E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
74	26, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
75	74	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( E. i e. { J } ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
76	70, 75	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 )
77	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` J ) )
78		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 0 e. RR )
79	39, 40, 41, 42, 43, 44, 64	ballotlemfelz 30552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) e. ZZ )
80	79	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) e. RR )
81	78, 80	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` J ) <-> -. ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` J ) <-> -. ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 ) )
83	77, 82	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> -. ( ( F ` C ) ` J ) <_ 0 )
84	76, 83	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -. J = 1 )
85		biortn 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. J = 1 -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
86	84, 85	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
87		notnotb 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( J = 1 <-> -. -. J = 1 )
88	87	orbi1i 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
89	86, 88	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
90	59, 89	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. NN )
91		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92	90, 91	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
93		elfzp1 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
94	92, 93	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
95	26	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. CC )
96		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
97	95, 96	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) + 1 ) = J )
98	97	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... J ) )
99	98	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> k e. ( 1 ... J ) ) )
100	97	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k = ( ( J - 1 ) + 1 ) <-> k = J ) )
101	100	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) ) )
102	94, 99, 101	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) ) )
103		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) <-> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
104	102, 103	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
105	104	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
106		pm5.6 951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
107	105, 106	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
108	90	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
109		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. ZZ
110	108, 109	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) )
111		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> k e. ZZ )
112	111, 109	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
113		fzaddel 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
114	110, 112, 113	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
115	114	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
116	115	3anidm23 1385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
117		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 + 1 ) = 2
118	117	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
119	118, 97	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ... J ) )
120	119	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( 2 ... J ) ) )
121		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
122		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ... J ) C_ ( 1 ... J ) )
123	121, 122	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 ... J ) C_ ( 1 ... J )
124	123	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 2 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
125	120, 124	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
126	125	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
127	116, 126	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
128	127	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
129	107, 128	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
130	57, 129	sylan2d 499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
131	130	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
132	131	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
133		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
134	133	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) )
135	134	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } <-> ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) )
136		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j <_ k <-> ( k + 1 ) <_ k ) )
137	136	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } ) -> ( k + 1 ) <_ k )
138	135, 137	sylan2br 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k /\ ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) ) -> ( k + 1 ) <_ k )
139	138	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 -> ( k + 1 ) <_ k ) )
140	139	con3d 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( -. ( k + 1 ) <_ k -> -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) )
141	20, 132, 140	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( -. ( k + 1 ) <_ k -> -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 ) )
142	19, 141	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 )
143		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k )
144	132	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
145		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ph )
146	131	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
147	35	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) )
148	34, 146, 147	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) )
149	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> C e. O )
150		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
151	150	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
152	39, 40, 41, 42, 43, 149, 151	ballotlemfelz 30552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
153	152	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
154	145, 148, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
155		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> 0 e. RR )
156		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 )
157	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 1 ... J ) )
158	157, 37	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 0 ... J ) )
159	130	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
160	44	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> C e. O )
161		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. NN )
162	161	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
163	39, 40, 41, 42, 43, 160, 162	ballotlemfp1 30553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( -. ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
164	163	simpld 475	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( -. ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) ) )
165	164	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) )
166	159, 165	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) )
167		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ZZ )
168	167	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. CC )
169		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> 1 e. CC )
170	168, 169	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
171	170	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( F ` C ) ` k ) )
172	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
173	172	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
174	157, 173	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
175	166, 174	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
176		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ZZ
177		zlem1lt 11429	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
178	48, 176, 177	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
179	178	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
180		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
181	180	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
182	179, 181	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 ) )
183	145, 158, 175, 182	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 ) )
184	156, 183	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) < 0 )
185	154, 155, 184	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 )
186	185	adantlrr 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 )
187	143, 144, 186, 138	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) <_ k )
188	19	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
189	187, 188	condan 835	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( k + 1 ) e. C )
190	163	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) ) )
191	190	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
192	159, 191	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
193	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 1 ... J ) )
194	171	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
195	194	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
196	193, 195	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
197	192, 196	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
198	197	adantlrr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
199	189, 198	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
200		breq1 4656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
201	200	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) -> ( -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
202	199, 201	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( -. ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <_ 0 <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
203	142, 202	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 )
204	6, 37	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> k e. ( 0 ... J ) )
205	204, 48	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
206	205	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
207		zleltp1 11428	. . . . . . . . 9 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
208	176, 207	mpan 706	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
209		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> 0 e. RR )
210		zre 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( F ` C ) ` k ) e. RR )
211		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> 1 e. RR )
212	210, 211	readdcld 10069	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) e. RR )
213	209, 212	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
214	208, 213	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
215	206, 214	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> -. ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) <_ 0 ) )
216	203, 215	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) )
217	206	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. RR )
218		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> 0 e. RR )
219	217, 218	letri3d 10179	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) = 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) )
220	5, 216, 219	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
221	4, 220	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
222		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ ( 1 ... J )
223	222, 12	sstri 3612	. . . . 5 |- { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ RR
224	223	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ RR )
225		fzfi 12771	. . . . . 6 |- ( 1 ... J ) e. Fin
226		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... J ) e. Fin /\ { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ ( 1 ... J ) ) -> { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } e. Fin )
227	225, 222, 226	mp2an 708	. . . . 5 |- { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } e. Fin
228	227	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } e. Fin )
229		rabn0 3958	. . . . 5 |- ( { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } =/= (/) <-> E. i e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 )
230	60, 229	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } =/= (/) )
231		fimaxre 10968	. . . 4 |- ( ( { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } C_ RR /\ { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } e. Fin /\ { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } =/= (/) ) -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k )
232	224, 228, 230, 231	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } j <_ k )
233	221, 232	reximddv 3018	. 2 |- ( ph -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
234		elrabi 3359	. . . 4 |- ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } -> k e. ( 1 ... J ) )
235	234	anim1i 592	. . 3 |- ( ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
236	235	reximi2 3010	. 2 |- ( E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | ( ( F ` C ) ` i ) <_ 0 } ( ( F ` C ) ` k ) = 0 -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
237	233, 236	syl 17	1 |- ( ph -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlem5  30561  ballotlemic  30568