Theorem ballotlemfcc 30555

Description: F takes value 0 between positive and negative values. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
ballotth.m	|- M e. NN
ballotth.n	|- N e. NN
ballotth.o	|- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
ballotth.p	|- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
ballotth.f	|- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
ballotlemfcc.c	|- ( ph -> C e. O )
ballotlemfcc.j	|- ( ph -> J e. NN )
ballotlemfcc.3	|- ( ph -> E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
ballotlemfcc.4	|- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 )

Assertion

Ref	Expression
ballotlemfcc	|- ( ph -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Distinct variable groups:   M, c   N, c   O, c   i, M   i, N   i, O   k, M   k, N   k, O   i, c, F   k, F   C, i   i, J   ph, i, k   k, J   C, k   ph, k

Allowed substitution hints:   ph( x, c)   C( x, c)   P( x, i, k, c)   F( x)   J( x, c)   M( x)   N( x)   O( x)

Proof of Theorem ballotlemfcc

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 6191	. . . . . . 7 |- ( i = k -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` k ) )
2	1	breq2d 4665	. . . . . 6 |- ( i = k -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
3	2	elrab 3363	. . . . 5 |- ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } <-> ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
4	3	anbi1i 731	. . . 4 |- ( ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) <-> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) )
5		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> k e. ( 1 ... J ) )
6	5	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> k e. ( 1 ... J ) )
7		fzssuz 12382	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1 ... J ) C_ ( ZZ>= ` 1 )
8		uzssz 11707	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ZZ>= ` 1 ) C_ ZZ
9	7, 8	sstri 3612	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( 1 ... J ) C_ ZZ
10		zssre 11384	. . . . . . . . . . . . 13 |- ZZ C_ RR
11	9, 10	sstri 3612	. . . . . . . . . . . 12 |- ( 1 ... J ) C_ RR
12	11	sseli 3599	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. RR )
13	12	ltp1d 10954	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k < ( k + 1 ) )
14		1red 10055	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> 1 e. RR )
15	12, 14	readdcld 10069	. . . . . . . . . . 11 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. RR )
16	12, 15	ltnled 10184	. . . . . . . . . 10 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k < ( k + 1 ) <-> -. ( k + 1 ) <_ k ) )
17	13, 16	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
18	6, 17	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> -. ( k + 1 ) <_ k )
19		simprr 796	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k )
20		ballotlemfcc.4	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 )
21	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 )
22		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k = J ) -> k = J )
23	22	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = ( ( F ` C ) ` J ) )
24	23	breq1d 4663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 ) )
25		ballotlemfcc.j	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> J e. NN )
26		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( J e. NN <-> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
27	25, 26	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> J e. ( ZZ>= ` 1 ) )
28		eluzfz2 12349	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. ( ZZ>= ` 1 ) -> J e. ( 1 ... J ) )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. ( 1 ... J ) )
30		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = J -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> J e. ( 1 ... J ) ) )
31	29, 30	syl5ibrcom 237	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( k = J -> k e. ( 1 ... J ) ) )
32	31	anc2li 580	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k = J -> ( ph /\ k e. ( 1 ... J ) ) ) )
33		1eluzge0 11732	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- 1 e. ( ZZ>= ` 0 )
34		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( 1 ... J ) C_ ( 0 ... J ) )
35	34	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ( 0 ... J ) ) )
36	33, 35	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ( 0 ... J ) )
37		ballotth.m	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- M e. NN
38		ballotth.n	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- N e. NN
39		ballotth.o	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- O = { c e. ~P ( 1 ... ( M + N ) ) | ( # ` c ) = M }
40		ballotth.p	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- P = ( x e. ~P O |-> ( ( # ` x ) / ( # ` O ) ) )
41		ballotth.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F = ( c e. O |-> ( i e. ZZ |-> ( ( # ` ( ( 1 ... i ) i^i c ) ) - ( # ` ( ( 1 ... i ) \ c ) ) ) ) )
42		ballotlemfcc.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ph -> C e. O )
43	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> C e. O )
44		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( k e. ( 0 ... J ) -> k e. ZZ )
45	44	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> k e. ZZ )
46	37, 38, 39, 40, 41, 43, 45	ballotlemfelz 30552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
47	46	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. RR )
48		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> 0 e. RR )
49	47, 48	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
50	36, 49	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
51	32, 50	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k = J -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) )
52	51	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
53	24, 52	bitr3d 270	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k = J ) -> ( ( ( F ` C ) ` J ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
54	21, 53	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k = J ) -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) )
55	54	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k = J -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) )
56	55	con2d 129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) -> -. k = J ) )
57		nn1m1nn 11040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( J e. NN -> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
58	25, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
59		ballotlemfcc.3	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
60	59	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
61		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( J = 1 -> ( J ... J ) = ( 1 ... J ) )
62	61	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( J ... J ) = ( 1 ... J ) )
63	25	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( ph -> J e. ZZ )
64		fzsn 12383	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 |- ( J e. ZZ -> ( J ... J ) = { J } )
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( ph -> ( J ... J ) = { J } )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( J ... J ) = { J } )
67	62, 66	eqtr3d 2658	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( 1 ... J ) = { J } )
68	67	rexeqdv 3145	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) ) )
69	60, 68	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
70		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 |- ( i = J -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` J ) )
71	70	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( i = J -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
72	71	rexsng 4219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( J e. NN -> ( E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
73	25, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
74	73	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( E. i e. { J } 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
75	69, 74	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) )
76	20	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( ( F ` C ) ` J ) < 0 )
77	37, 38, 39, 40, 41, 42, 63	ballotlemfelz 30552	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) e. ZZ )
78	77	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> ( ( F ` C ) ` J ) e. RR )
79		0red 10041	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 |- ( ph -> 0 e. RR )
80	78, 79	ltnled 10184	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ph -> ( ( ( F ` C ) ` J ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
81	80	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> ( ( ( F ` C ) ` J ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) ) )
82	76, 81	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ph /\ J = 1 ) -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` J ) )
83	75, 82	pm2.65da 600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> -. J = 1 )
84		biortn 421	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( -. J = 1 -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
85	83, 84	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
86		notnotb 304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( J = 1 <-> -. -. J = 1 )
87	86	orbi1i 542	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) <-> ( -. -. J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) )
88	85, 87	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( J = 1 \/ ( J - 1 ) e. NN ) ) )
89	58, 88	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. NN )
90		elnnuz 11724	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( J - 1 ) e. NN <-> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
91	89, 90	sylib 208	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
92		elfzp1 12391	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( J - 1 ) e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
93	91, 92	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
94	25	nncnd 11036	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> J e. CC )
95		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> 1 e. CC )
96	94, 95	npcand 10396	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( ( J - 1 ) + 1 ) = J )
97	96	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... J ) )
98	97	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> k e. ( 1 ... J ) ) )
99	96	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( k = ( ( J - 1 ) + 1 ) <-> k = J ) )
100	99	orbi2d 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) ) )
101	93, 98, 100	3bitr3d 298	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) ) )
102		orcom 402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) \/ k = J ) <-> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
103	101, 102	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) <-> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
104	103	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
105		pm5.6 951	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) <-> ( k e. ( 1 ... J ) -> ( k = J \/ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) ) )
106	104, 105	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) )
107	89	nnzd 11481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( J - 1 ) e. ZZ )
108		1z 11407	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 1 e. ZZ
109	107, 108	jctil 560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( 1 e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) )
110		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> k e. ZZ )
111	110, 108	jctir 561	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) )
112		fzaddel 12375	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( 1 e. ZZ /\ ( J - 1 ) e. ZZ ) /\ ( k e. ZZ /\ 1 e. ZZ ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
113	109, 111, 112	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) ) )
114	113	biimp3a 1432	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
115	114	3anidm23 1385	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) )
116		1p1e2 11134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( 1 + 1 ) = 2
117	116	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( 1 + 1 ) = 2 )
118	117, 96	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) = ( 2 ... J ) )
119	118	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) <-> ( k + 1 ) e. ( 2 ... J ) ) )
120		2eluzge1 11734	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- 2 e. ( ZZ>= ` 1 )
121		fzss1 12380	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( 2 e. ( ZZ>= ` 1 ) -> ( 2 ... J ) C_ ( 1 ... J ) )
122	120, 121	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( 2 ... J ) C_ ( 1 ... J )
123	122	sseli 3599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 2 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
124	119, 123	syl6bi 243	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
125	124	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( ( k + 1 ) e. ( ( 1 + 1 ) ... ( ( J - 1 ) + 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
126	115, 125	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
127	126	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( k e. ( 1 ... ( J - 1 ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
128	106, 127	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ -. k = J ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
129	56, 128	sylan2d 499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
130	129	imp 445	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
131	130	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
132		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( ( F ` C ) ` i ) = ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
133	132	breq2d 4665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( i = ( k + 1 ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) <-> 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
134	133	elrab 3363	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k + 1 ) e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } <-> ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
135		breq1 4656	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( j <_ k <-> ( k + 1 ) <_ k ) )
136	135	rspccva 3308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } ) -> ( k + 1 ) <_ k )
137	134, 136	sylan2br 493	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k /\ ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) ) -> ( k + 1 ) <_ k )
138	137	expr 643	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) -> ( k + 1 ) <_ k ) )
139	138	con3d 148	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( -. ( k + 1 ) <_ k -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
140	19, 131, 139	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( -. ( k + 1 ) <_ k -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
141	18, 140	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
142		simplrr 801	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k )
143	131	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
144		0red 10041	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 e. RR )
145		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ph )
146	130	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) )
147	34	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 1 e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) )
148	33, 146, 147	mpsyl 68	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) )
149	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> C e. O )
150		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
151	150	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( k + 1 ) e. ZZ )
152	37, 38, 39, 40, 41, 149, 151	ballotlemfelz 30552	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. ZZ )
153	152	zred 11482	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 0 ... J ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
154	145, 148, 153	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) e. RR )
155		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) )
156	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 1 ... J ) )
157	156, 36	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 0 ... J ) )
158	129	imdistani 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) )
159	42	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> C e. O )
160		elfznn 12370	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) -> ( k + 1 ) e. NN )
161	160	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( k + 1 ) e. NN )
162	37, 38, 39, 40, 41, 159, 161	ballotlemfp1 30553	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( -. ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) ) /\ ( ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) ) ) )
163	162	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) ) )
164	163	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
165	158, 164	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) )
166		elfzelz 12342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. ZZ )
167	166	zcnd 11483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> k e. CC )
168		1cnd 10056	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> 1 e. CC )
169	167, 168	pncand 10393	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( k + 1 ) - 1 ) = k )
170	169	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) = ( ( F ` C ) ` k ) )
171	170	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
172	171	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
173	156, 172	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) + 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
174	165, 173	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) )
175		0z 11388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- 0 e. ZZ
176		zleltp1 11428	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( 0 e. ZZ /\ ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
177	175, 46, 176	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
178	177	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
179		breq2 4657	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
180	179	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) -> ( 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> 0 < ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) )
181	178, 180	bitr4d 271	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ k e. ( 0 ... J ) ) /\ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) + 1 ) ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
182	145, 157, 174, 181	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) <-> 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) ) )
183	155, 182	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 < ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
184	144, 154, 183	ltled 10185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
185	184	adantlrr 757	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) )
186	142, 143, 185, 137	syl12anc 1324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ ( k + 1 ) e. C ) -> ( k + 1 ) <_ k )
187	18, 186	mtand 691	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> -. ( k + 1 ) e. C )
188	162	simpld 475	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) -> ( -. ( k + 1 ) e. C -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) ) )
189	188	imp 445	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k + 1 ) e. ( 1 ... J ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) )
190	158, 189	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) )
191	5	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> k e. ( 1 ... J ) )
192	170	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
193	192	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. ( 1 ... J ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
194	191, 193	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` ( ( k + 1 ) - 1 ) ) - 1 ) <-> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
195	190, 194	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
196	195	adantlrr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) /\ -. ( k + 1 ) e. C ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
197	187, 196	mpdan 702	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
198		breq2 4657	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) -> ( 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
199	198	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) = ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) -> ( -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
200	197, 199	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( -. 0 <_ ( ( F ` C ) ` ( k + 1 ) ) <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
201	141, 200	mpbid 222	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) )
202	5, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> k e. ( 0 ... J ) )
203	202, 46	syldan 487	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
204	203	adantrr 753	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ )
205		zlem1lt 11429	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ /\ 0 e. ZZ ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
206	175, 205	mpan2 707	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 ) )
207		zre 11381	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( F ` C ) ` k ) e. RR )
208		1red 10055	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> 1 e. RR )
209	207, 208	resubcld 10458	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) e. RR )
210		0red 10041	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> 0 e. RR )
211	209, 210	ltnled 10184	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) < 0 <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
212	206, 211	bitrd 268	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` C ) ` k ) e. ZZ -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
213	204, 212	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 <-> -. 0 <_ ( ( ( F ` C ) ` k ) - 1 ) ) )
214	201, 213	mpbird 247	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 )
215		simprlr 803	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) )
216	204	zred 11482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) e. RR )
217		0red 10041	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> 0 e. RR )
218	216, 217	letri3d 10179	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( ( F ` C ) ` k ) = 0 <-> ( ( ( F ` C ) ` k ) <_ 0 /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) ) )
219	214, 215, 218	mpbir2and 957	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( ( k e. ( 1 ... J ) /\ 0 <_ ( ( F ` C ) ` k ) ) /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
220	4, 219	sylan2b 492	. . 3 |- ( ( ph /\ ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } /\ A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k ) ) -> ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
221		ssrab2 3687	. . . . . 6 |- { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } C_ ( 1 ... J )
222	221, 11	sstri 3612	. . . . 5 |- { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } C_ RR
223	222	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } C_ RR )
224		fzfi 12771	. . . . . 6 |- ( 1 ... J ) e. Fin
225		ssfi 8180	. . . . . 6 |- ( ( ( 1 ... J ) e. Fin /\ { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } C_ ( 1 ... J ) ) -> { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } e. Fin )
226	224, 221, 225	mp2an 708	. . . . 5 |- { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } e. Fin
227	226	a1i 11	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } e. Fin )
228		rabn0 3958	. . . . 5 |- ( { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } =/= (/) <-> E. i e. ( 1 ... J ) 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) )
229	59, 228	sylibr 224	. . . 4 |- ( ph -> { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } =/= (/) )
230		fimaxre 10968	. . . 4 |- ( ( { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } C_ RR /\ { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } e. Fin /\ { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } =/= (/) ) -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k )
231	223, 227, 229, 230	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } A. j e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } j <_ k )
232	220, 231	reximddv 3018	. 2 |- ( ph -> E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
233		elrabi 3359	. . . 4 |- ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } -> k e. ( 1 ... J ) )
234	233	anim1i 592	. . 3 |- ( ( k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) -> ( k e. ( 1 ... J ) /\ ( ( F ` C ) ` k ) = 0 ) )
235	234	reximi2 3010	. 2 |- ( E. k e. { i e. ( 1 ... J ) | 0 <_ ( ( F ` C ) ` i ) } ( ( F ` C ) ` k ) = 0 -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )
236	232, 235	syl 17	1 |- ( ph -> E. k e. ( 1 ... J ) ( ( F ` C ) ` k ) = 0 )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   < clt 10074   <_ cle 10075   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326   #chash 13117

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cda 8990  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-hash 13118

This theorem is referenced by:  ballotlem1c  30569