Theorem fin1a2lem4 9225

Description: Lemma for fin1a2 9237. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Nov-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
fin1a2lem.b	|- E = ( x e. om |-> ( 2o .o x ) )

Assertion

Ref	Expression
fin1a2lem4	|- E : om -1-1-> om

Proof of Theorem fin1a2lem4

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fin1a2lem.b	. . 3 |- E = ( x e. om |-> ( 2o .o x ) )
2		2onn 7720	. . . 4 |- 2o e. om
3		nnmcl 7692	. . . 4 |- ( ( 2o e. om /\ x e. om ) -> ( 2o .o x ) e. om )
4	2, 3	mpan 706	. . 3 |- ( x e. om -> ( 2o .o x ) e. om )
5	1, 4	fmpti 6383	. 2 |- E : om --> om
6	1	fin1a2lem3 9224	. . . . . 6 |- ( a e. om -> ( E ` a ) = ( 2o .o a ) )
7	1	fin1a2lem3 9224	. . . . . 6 |- ( b e. om -> ( E ` b ) = ( 2o .o b ) )
8	6, 7	eqeqan12d 2638	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) <-> ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) ) )
9		2on 7568	. . . . . . 7 |- 2o e. On
10	9	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> 2o e. On )
11		nnon 7071	. . . . . . 7 |- ( a e. om -> a e. On )
12	11	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> a e. On )
13		nnon 7071	. . . . . . 7 |- ( b e. om -> b e. On )
14	13	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> b e. On )
15		0lt1o 7584	. . . . . . . . 9 |- (/) e. 1o
16		elelsuc 5797	. . . . . . . . 9 |- ( (/) e. 1o -> (/) e. suc 1o )
17	15, 16	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (/) e. suc 1o
18		df-2o 7561	. . . . . . . 8 |- 2o = suc 1o
19	17, 18	eleqtrri 2700	. . . . . . 7 |- (/) e. 2o
20	19	a1i 11	. . . . . 6 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> (/) e. 2o )
21		omcan 7649	. . . . . 6 |- ( ( ( 2o e. On /\ a e. On /\ b e. On ) /\ (/) e. 2o ) -> ( ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) <-> a = b ) )
22	10, 12, 14, 20, 21	syl31anc 1329	. . . . 5 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( 2o .o a ) = ( 2o .o b ) <-> a = b ) )
23	8, 22	bitrd 268	. . . 4 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) <-> a = b ) )
24	23	biimpd 219	. . 3 |- ( ( a e. om /\ b e. om ) -> ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b ) )
25	24	rgen2a 2977	. 2 |- A. a e. om A. b e. om ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b )
26		dff13 6512	. 2 |- ( E : om -1-1-> om <-> ( E : om --> om /\ A. a e. om A. b e. om ( ( E ` a ) = ( E ` b ) -> a = b ) ) )
27	5, 25, 26	mpbir2an 955	1 |- E : om -1-1-> om

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   Oncon0 5723   suc csuc 5725   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   1oc1o 7553   2oc2o 7554   .o comu 7558

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565

This theorem is referenced by:  fin1a2lem5  9226  fin1a2lem6  9227  fin1a2lem7  9228