Theorem fin1a2 9237

Description: Every Ia-finite set is II-finite. Theorem 1 of [Levy58], p. 3. (Contributed by Stefan O'Rear, 8-Nov-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fin1a2	|- ( A e. FinIa -> A e. FinII )

Proof of Theorem fin1a2

Dummy variable b is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwi 4168	. . . 4 |- ( b e. ~P A -> b C_ A )
2		fin1ai 9115	. . . . 5 |- ( ( A e. FinIa /\ b C_ A ) -> ( b e. Fin \/ ( A \ b ) e. Fin ) )
3		fin12 9235	. . . . . 6 |- ( ( A \ b ) e. Fin -> ( A \ b ) e. FinII )
4	3	orim2i 540	. . . . 5 |- ( ( b e. Fin \/ ( A \ b ) e. Fin ) -> ( b e. Fin \/ ( A \ b ) e. FinII ) )
5	2, 4	syl 17	. . . 4 |- ( ( A e. FinIa /\ b C_ A ) -> ( b e. Fin \/ ( A \ b ) e. FinII ) )
6	1, 5	sylan2 491	. . 3 |- ( ( A e. FinIa /\ b e. ~P A ) -> ( b e. Fin \/ ( A \ b ) e. FinII ) )
7	6	ralrimiva 2966	. 2 |- ( A e. FinIa -> A. b e. ~P A ( b e. Fin \/ ( A \ b ) e. FinII ) )
8		fin1a2s 9236	. 2 |- ( ( A e. FinIa /\ A. b e. ~P A ( b e. Fin \/ ( A \ b ) e. FinII ) ) -> A e. FinII )
9	7, 8	mpdan 702	1 |- ( A e. FinIa -> A e. FinII )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   e. wcel 1990   A.wral 2912   \ cdif 3571   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   Fincfn 7955  Fin^Iacfin1a 9100  Fin^IIcfin2 9101

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-seqom 7543  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-wdom 8464  df-card 8765  df-fin1a 9107  df-fin2 9108  df-fin4 9109  df-fin3 9110

This theorem is referenced by: (None)