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Theorem firest 16093
Description: The finite intersections operator commutes with restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
firest |- ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A )
Proof of Theorem firest
Dummy variables x f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6678 . . . . . 6 |- ( J ↾t A ) e. _V
2 elfi2 8320 . . . . . 6 |- ( ( J ↾t A ) e. _V -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y ) )
31, 2ax-mp 5 . . . . 5 |- ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y )
4 eldifi 3732 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) )
54adantl 482 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) )
6 elfpw 8268 . . . . . . . . . . 11 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) <-> ( y C_ ( J ↾t A ) /\ y e. Fin ) )
76simprbi 480 . . . . . . . . . 10 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) -> y e. Fin )
85, 7syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. Fin )
96simplbi 476 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) -> y C_ ( J ↾t A ) )
105, 9syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y C_ ( J ↾t A ) )
1110sseld 3602 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. y -> z e. ( J ↾t A ) ) )
12 elrest 16088 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
1312adantr 481 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. ( J ↾t A ) <-> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
1411, 13sylibd 229 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z e. y -> E. y e. J z = ( y i^i A ) ) )
1514ralrimiv 2965 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. y E. y e. J z = ( y i^i A ) )
16 ineq1 3807 . . . . . . . . . . 11 |- ( y = ( f ` z ) -> ( y i^i A ) = ( ( f ` z ) i^i A ) )
1716eqeq2d 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( y = ( f ` z ) -> ( z = ( y i^i A ) <-> z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
1817ac6sfi 8204 . . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ A. z e. y E. y e. J z = ( y i^i A ) ) -> E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
198, 15, 18syl2anc 693 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) )
20 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
2120ad2antlr 763 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> y =/= (/) )
22 iinin1 4591 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y =/= (/) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) = ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) )
2321, 22syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) = ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) )
24 fvex 6201 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( fi ` J ) e. _V
2524a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( fi ` J ) e. _V )
26 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> A e. _V )
27 ffn 6045 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( f : y --> J -> f Fn y )
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> f Fn y )
29 fniinfv 6257 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( f Fn y -> |^|_ z e. y ( f ` z ) = |^| ran f )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( f ` z ) = |^| ran f )
31 simplll 798 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> J e. _V )
32 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> f : y --> J )
338adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> y e. Fin )
34 intrnfi 8322 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( J e. _V /\ ( f : y --> J /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^| ran f e. ( fi ` J ) )
3531, 32, 21, 33, 34syl13anc 1328 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^| ran f e. ( fi ` J ) )
3630, 35eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( f ` z ) e. ( fi ` J ) )
37 elrestr 16089 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( fi ` J ) e. _V /\ A e. _V /\ |^|_ z e. y ( f ` z ) e. ( fi ` J ) ) -> ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
3825, 26, 36, 37syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( |^|_ z e. y ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
3923, 38eqeltrd 2701 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
40 intiin 4574 . . . . . . . . . . . . 13 |- |^| y = |^|_ z e. y z
41 iineq2 4538 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^|_ z e. y z = |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) )
4240, 41syl5eq 2668 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^| y = |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) )
4342eleq1d 2686 . . . . . . . . . . 11 |- ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> ( |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> |^|_ z e. y ( ( f ` z ) i^i A ) e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
4439, 43syl5ibrcom 237 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) /\ f : y --> J ) -> ( A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
4544expimpd 629 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
4645exlimdv 1861 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( E. f ( f : y --> J /\ A. z e. y z = ( ( f ` z ) i^i A ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
4719, 46mpd 15 . . . . . . 7 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
48 eleq1 2689 . . . . . . 7 |- ( x = |^| y -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> |^| y e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
4947, 48syl5ibrcom 237 . . . . . 6 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x = |^| y -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
5049rexlimdva 3031 . . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. y e. ( ( ~P ( J ↾t A ) i^i Fin ) \ { (/) } ) x = |^| y -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
513, 50syl5bi 232 . . . 4 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) -> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
52 simpr 477 . . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> A e. _V )
53 elrest 16088 . . . . . 6 |- ( ( ( fi ` J ) e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) ) )
5424, 52, 53sylancr 695 . . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) <-> E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) ) )
55 elfi2 8320 . . . . . . . 8 |- ( J e. _V -> ( z e. ( fi ` J ) <-> E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
5655adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( fi ` J ) <-> E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y ) )
57 eldifsni 4320 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y =/= (/) )
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y =/= (/) )
59 iinin1 4591 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y =/= (/) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) )
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A ) )
6140ineq1i 3810 . . . . . . . . . . . 12 |- ( |^| y i^i A ) = ( |^|_ z e. y z i^i A )
6260, 61syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) = ( |^| y i^i A ) )
631a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( J ↾t A ) e. _V )
64 eldifi 3732 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) -> y e. ( ~P J i^i Fin ) )
6564adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. ( ~P J i^i Fin ) )
66 elfpw 8268 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) <-> ( y C_ J /\ y e. Fin ) )
6766simplbi 476 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) -> y C_ J )
6865, 67syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y C_ J )
69 elrestr 16089 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V /\ z e. J ) -> ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
70693expa 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ z e. J ) -> ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
7170ralrimiva 2966 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
73 ssralv 3666 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y C_ J -> ( A. z e. J ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) -> A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) ) )
7468, 72, 73sylc 65 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) )
7566simprbi 480 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. ( ~P J i^i Fin ) -> y e. Fin )
7665, 75syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> y e. Fin )
77 iinfi 8323 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( J ↾t A ) e. _V /\ ( A. z e. y ( z i^i A ) e. ( J ↾t A ) /\ y =/= (/) /\ y e. Fin ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
7863, 74, 58, 76, 77syl13anc 1328 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> |^|_ z e. y ( z i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
7962, 78eqeltrrd 2702 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( |^| y i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) )
80 eleq1 2689 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( |^| y i^i A ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> ( |^| y i^i A ) e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
8179, 80syl5ibrcom 237 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( x = ( |^| y i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
82 ineq1 3807 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = |^| y -> ( z i^i A ) = ( |^| y i^i A ) )
8382eqeq2d 2632 . . . . . . . . . 10 |- ( z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) <-> x = ( |^| y i^i A ) ) )
8483imbi1d 331 . . . . . . . . 9 |- ( z = |^| y -> ( ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) <-> ( x = ( |^| y i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
8581, 84syl5ibrcom 237 . . . . . . . 8 |- ( ( ( J e. _V /\ A e. _V ) /\ y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) ) -> ( z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
8685rexlimdva 3031 . . . . . . 7 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. y e. ( ( ~P J i^i Fin ) \ { (/) } ) z = |^| y -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
8756, 86sylbid 230 . . . . . 6 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( z e. ( fi ` J ) -> ( x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) ) )
8887rexlimdv 3030 . . . . 5 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( E. z e. ( fi ` J ) x = ( z i^i A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
8954, 88sylbid 230 . . . 4 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) -> x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) ) )
9051, 89impbid 202 . . 3 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( x e. ( fi ` ( J ↾t A ) ) <-> x e. ( ( fi ` J ) ↾t A ) ) )
9190eqrdv 2620 . 2 |- ( ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
92 fi0 8326 . . 3 |- ( fi ` (/) ) = (/)
93 relxp 5227 . . . . . 6 |- Rel ( _V X. _V )
94 restfn 16085 . . . . . . . 8 |- ↾t Fn ( _V X. _V )
95 fndm 5990 . . . . . . . 8 |- ( ↾t Fn ( _V X. _V ) -> dom ↾t = ( _V X. _V ) )
9694, 95ax-mp 5 . . . . . . 7 |- dom ↾t = ( _V X. _V )
9796releqi 5202 . . . . . 6 |- ( Rel dom ↾t <-> Rel ( _V X. _V ) )
9893, 97mpbir 221 . . . . 5 |- Rel dom ↾t
9998ovprc 6683 . . . 4 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( J ↾t A ) = (/) )
10099fveq2d 6195 . . 3 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( fi ` (/) ) )
101 ianor 509 . . . 4 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) <-> ( -. J e. _V \/ -. A e. _V ) )
102 fvprc 6185 . . . . . . 7 |- ( -. J e. _V -> ( fi ` J ) = (/) )
103102oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( -. J e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = ( (/) ↾t A ) )
104 0rest 16090 . . . . . 6 |- ( (/) ↾t A ) = (/)
105103, 104syl6eq 2672 . . . . 5 |- ( -. J e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
10698ovprc2 6685 . . . . 5 |- ( -. A e. _V -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
107105, 106jaoi 394 . . . 4 |- ( ( -. J e. _V \/ -. A e. _V ) -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
108101, 107sylbi 207 . . 3 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( ( fi ` J ) ↾t A ) = (/) )
10992, 100, 1083eqtr4a 2682 . 2 |- ( -. ( J e. _V /\ A e. _V ) -> ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A ) )
11091, 109pm2.61i 176 1 |- ( fi ` ( J ↾t A ) ) = ( ( fi ` J ) ↾t A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   |^|cint 4475   |^|_ciin 4521   X. cxp 5112   dom cdm 5114   ran crn 5115   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   ficfi 8316   ↾t crest 16081
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083
This theorem is referenced by:  ordtrest2  21008  xkoptsub  21457  ordtrest2NEW  29969  ptrest  33408
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