Theorem frege131 38288

Description: If the procedure R is single-valued, then the property of belonging to the R-sequence begining with M or preceeding M in the R-sequence is hereditary in the R-sequence. Proposition 131 of [Frege1879] p. 85. (Contributed by RP, 9-Jul-2020.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
frege130.m	|- M e. U
frege130.r	|- R e. V

Assertion

Ref	Expression
frege131	|- ( Fun `' `' R -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) )

Proof of Theorem frege131

Dummy variables a b are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frege75 38232	. 2 |- ( A. b ( b e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) -> A. a ( b R a -> a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) ) -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) )
2		elun 3753	. . . . . . 7 |- ( b e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) <-> ( b e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) \/ b e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) )
3		df-or 385	. . . . . . 7 |- ( ( b e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) \/ b e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) <-> ( -. b e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) -> b e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) )
4		frege130.m	. . . . . . . . . . . 12 |- M e. U
5	4	elexi 3213	. . . . . . . . . . 11 |- M e. _V
6		vex 3203	. . . . . . . . . . 11 |- b e. _V
7	5, 6	elimasn 5490	. . . . . . . . . 10 |- ( b e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) <-> <. M , b >. e. `' ( t+ ` R ) )
8		df-br 4654	. . . . . . . . . 10 |- ( M `' ( t+ ` R ) b <-> <. M , b >. e. `' ( t+ ` R ) )
9	5, 6	brcnv 5305	. . . . . . . . . 10 |- ( M `' ( t+ ` R ) b <-> b ( t+ ` R ) M )
10	7, 8, 9	3bitr2i 288	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) <-> b ( t+ ` R ) M )
11	10	notbii 310	. . . . . . . 8 |- ( -. b e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) <-> -. b ( t+ ` R ) M )
12	5, 6	elimasn 5490	. . . . . . . . 9 |- ( b e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) <-> <. M , b >. e. ( ( t+ ` R ) u. _I ) )
13		df-br 4654	. . . . . . . . 9 |- ( M ( ( t+ ` R ) u. _I ) b <-> <. M , b >. e. ( ( t+ ` R ) u. _I ) )
14	12, 13	bitr4i 267	. . . . . . . 8 |- ( b e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) <-> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) b )
15	11, 14	imbi12i 340	. . . . . . 7 |- ( ( -. b e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) -> b e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) <-> ( -. b ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) b ) )
16	2, 3, 15	3bitri 286	. . . . . 6 |- ( b e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) <-> ( -. b ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) b ) )
17		elun 3753	. . . . . . . . 9 |- ( a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) <-> ( a e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) \/ a e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) )
18		df-or 385	. . . . . . . . 9 |- ( ( a e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) \/ a e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) <-> ( -. a e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) -> a e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) )
19		vex 3203	. . . . . . . . . . . . 13 |- a e. _V
20	5, 19	elimasn 5490	. . . . . . . . . . . 12 |- ( a e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) <-> <. M , a >. e. `' ( t+ ` R ) )
21		df-br 4654	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M `' ( t+ ` R ) a <-> <. M , a >. e. `' ( t+ ` R ) )
22	5, 19	brcnv 5305	. . . . . . . . . . . 12 |- ( M `' ( t+ ` R ) a <-> a ( t+ ` R ) M )
23	20, 21, 22	3bitr2i 288	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) <-> a ( t+ ` R ) M )
24	23	notbii 310	. . . . . . . . . 10 |- ( -. a e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) <-> -. a ( t+ ` R ) M )
25	5, 19	elimasn 5490	. . . . . . . . . . 11 |- ( a e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) <-> <. M , a >. e. ( ( t+ ` R ) u. _I ) )
26		df-br 4654	. . . . . . . . . . 11 |- ( M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a <-> <. M , a >. e. ( ( t+ ` R ) u. _I ) )
27	25, 26	bitr4i 267	. . . . . . . . . 10 |- ( a e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) <-> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a )
28	24, 27	imbi12i 340	. . . . . . . . 9 |- ( ( -. a e. ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) -> a e. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) <-> ( -. a ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a ) )
29	17, 18, 28	3bitri 286	. . . . . . . 8 |- ( a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) <-> ( -. a ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a ) )
30	29	imbi2i 326	. . . . . . 7 |- ( ( b R a -> a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) <-> ( b R a -> ( -. a ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a ) ) )
31	30	albii 1747	. . . . . 6 |- ( A. a ( b R a -> a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) <-> A. a ( b R a -> ( -. a ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a ) ) )
32	16, 31	imbi12i 340	. . . . 5 |- ( ( b e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) -> A. a ( b R a -> a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) ) <-> ( ( -. b ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) b ) -> A. a ( b R a -> ( -. a ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a ) ) ) )
33	32	albii 1747	. . . 4 |- ( A. b ( b e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) -> A. a ( b R a -> a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) ) <-> A. b ( ( -. b ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) b ) -> A. a ( b R a -> ( -. a ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a ) ) ) )
34	33	imbi1i 339	. . 3 |- ( ( A. b ( b e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) -> A. a ( b R a -> a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) ) -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) <-> ( A. b ( ( -. b ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) b ) -> A. a ( b R a -> ( -. a ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a ) ) ) -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) )
35		frege130.r	. . . 4 |- R e. V
36	4, 35	frege130 38287	. . 3 |- ( ( A. b ( ( -. b ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) b ) -> A. a ( b R a -> ( -. a ( t+ ` R ) M -> M ( ( t+ ` R ) u. _I ) a ) ) ) -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) -> ( Fun `' `' R -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) )
37	34, 36	sylbi 207	. 2 |- ( ( A. b ( b e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) -> A. a ( b R a -> a e. ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) ) -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) -> ( Fun `' `' R -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) ) )
38	1, 37	ax-mp 5	1 |- ( Fun `' `' R -> R hereditary ( ( `' ( t+ ` R ) " { M } ) u. ( ( ( t+ ` R ) u. _I ) " { M } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   A.wal 1481   e. wcel 1990   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   _I cid 5023   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fun wfun 5882   ` cfv 5888   t+ctcl 13724   hereditary whe 38066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-frege1 38084  ax-frege2 38085  ax-frege8 38103  ax-frege28 38124  ax-frege31 38128  ax-frege41 38139  ax-frege52a 38151  ax-frege52c 38182  ax-frege58b 38195

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-ifp 1013  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-trcl 13726  df-relexp 13761  df-he 38067

This theorem is referenced by:  frege132  38289