Theorem fseq1m1p1 12415

Description: Add/remove an item to/from the end of a finite sequence. (Contributed by Paul Chapman, 17-Nov-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
fseq1m1p1.1	|- H = { <. N , B >. }

Assertion

Ref	Expression
fseq1m1p1	|- ( N e. NN -> ( ( F : ( 1 ... ( N - 1 ) ) --> A /\ B e. A /\ G = ( F u. H ) ) <-> ( G : ( 1 ... N ) --> A /\ ( G ` N ) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Proof of Theorem fseq1m1p1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnm1nn0 11334	. . 3 |- ( N e. NN -> ( N - 1 ) e. NN0 )
2		eqid 2622	. . . 4 |- { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. } = { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. }
3	2	fseq1p1m1 12414	. . 3 |- ( ( N - 1 ) e. NN0 -> ( ( F : ( 1 ... ( N - 1 ) ) --> A /\ B e. A /\ G = ( F u. { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. } ) ) <-> ( G : ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) --> A /\ ( G ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) ) )
4	1, 3	syl 17	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( F : ( 1 ... ( N - 1 ) ) --> A /\ B e. A /\ G = ( F u. { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. } ) ) <-> ( G : ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) --> A /\ ( G ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) ) )
5		nncn 11028	. . . . . . . . 9 |- ( N e. NN -> N e. CC )
6		ax-1cn 9994	. . . . . . . . 9 |- 1 e. CC
7		npcan 10290	. . . . . . . . 9 |- ( ( N e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
8	5, 6, 7	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN -> ( ( N - 1 ) + 1 ) = N )
9	8	opeq1d 4408	. . . . . . 7 |- ( N e. NN -> <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. = <. N , B >. )
10	9	sneqd 4189	. . . . . 6 |- ( N e. NN -> { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. } = { <. N , B >. } )
11		fseq1m1p1.1	. . . . . 6 |- H = { <. N , B >. }
12	10, 11	syl6eqr 2674	. . . . 5 |- ( N e. NN -> { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. } = H )
13	12	uneq2d 3767	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( F u. { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. } ) = ( F u. H ) )
14	13	eqeq2d 2632	. . 3 |- ( N e. NN -> ( G = ( F u. { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. } ) <-> G = ( F u. H ) ) )
15	14	3anbi3d 1405	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( F : ( 1 ... ( N - 1 ) ) --> A /\ B e. A /\ G = ( F u. { <. ( ( N - 1 ) + 1 ) , B >. } ) ) <-> ( F : ( 1 ... ( N - 1 ) ) --> A /\ B e. A /\ G = ( F u. H ) ) ) )
16	8	oveq2d 6666	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( 1 ... N ) )
17	16	feq2d 6031	. . 3 |- ( N e. NN -> ( G : ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) --> A <-> G : ( 1 ... N ) --> A ) )
18	8	fveq2d 6195	. . . 4 |- ( N e. NN -> ( G ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = ( G ` N ) )
19	18	eqeq1d 2624	. . 3 |- ( N e. NN -> ( ( G ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = B <-> ( G ` N ) = B ) )
20	17, 19	3anbi12d 1400	. 2 |- ( N e. NN -> ( ( G : ( 1 ... ( ( N - 1 ) + 1 ) ) --> A /\ ( G ` ( ( N - 1 ) + 1 ) ) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) <-> ( G : ( 1 ... N ) --> A /\ ( G ` N ) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) ) )
21	4, 15, 20	3bitr3d 298	1 |- ( N e. NN -> ( ( F : ( 1 ... ( N - 1 ) ) --> A /\ B e. A /\ G = ( F u. H ) ) <-> ( G : ( 1 ... N ) --> A /\ ( G ` N ) = B /\ F = ( G |` ( 1 ... ( N - 1 ) ) ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   u. cun 3572   {csn 4177   <.cop 4183   |` cres 5116   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   NNcn 11020   NN0cn0 11292   ...cfz 12326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327

This theorem is referenced by: (None)