Theorem gsum2d2lem 18372

Description: Lemma for gsum2d2 18373: show the function is finitely supported. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2014.) (Revised by AV, 9-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
gsum2d2.b	|- B = ( Base ` G )
gsum2d2.z	|- .0. = ( 0g ` G )
gsum2d2.g	|- ( ph -> G e. CMnd )
gsum2d2.a	|- ( ph -> A e. V )
gsum2d2.r	|- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
gsum2d2.f	|- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
gsum2d2.u	|- ( ph -> U e. Fin )
gsum2d2.n	|- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )

Assertion

Ref	Expression
gsum2d2lem	|- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )

Distinct variable groups:   j, k, B   ph, j, k   A, j, k   j, G, k   U, j, k   C, k   j, V   .0. , j, k

Allowed substitution hints:   C( j)   V( k)   W( j, k)   X( j, k)

Proof of Theorem gsum2d2lem

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- ( j e. A , k e. C |-> X ) = ( j e. A , k e. C |-> X )
2	1	mpt2fun 6762	. . 3 |- Fun ( j e. A , k e. C |-> X )
3	2	a1i 11	. 2 |- ( ph -> Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) )
4		gsum2d2.u	. . 3 |- ( ph -> U e. Fin )
5		gsum2d2.f	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( j e. A /\ k e. C ) ) -> X e. B )
6	5	ralrimivva 2971	. . . . 5 |- ( ph -> A. j e. A A. k e. C X e. B )
7	1	fmpt2x 7236	. . . . 5 |- ( A. j e. A A. k e. C X e. B <-> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
8	6, 7	sylib 208	. . . 4 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) : U_ j e. A ( { j } X. C ) --> B )
9		relxp 5227	. . . . . . . 8 |- Rel ( { j } X. C )
10	9	rgenw 2924	. . . . . . 7 |- A. j e. A Rel ( { j } X. C )
11		reliun 5239	. . . . . . 7 |- ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> A. j e. A Rel ( { j } X. C ) )
12	10, 11	mpbir 221	. . . . . 6 |- Rel U_ j e. A ( { j } X. C )
13		eldifi 3732	. . . . . . 7 |- ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
14	13	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
15		elrel 5222	. . . . . 6 |- ( ( Rel U_ j e. A ( { j } X. C ) /\ z e. U_ j e. A ( { j } X. C ) ) -> E. j E. k z = <. j , k >. )
16	12, 14, 15	sylancr 695	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> E. j E. k z = <. j , k >. )
17		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ j ph
18		nfiu1 4550	. . . . . . . . 9 |- F/_ j U_ j e. A ( { j } X. C )
19		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ j U
20	18, 19	nfdif 3731	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U )
21	20	nfcri 2758	. . . . . . 7 |- F/ j z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U )
22	17, 21	nfan 1828	. . . . . 6 |- F/ j ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
23		nfmpt21 6722	. . . . . . . 8 |- F/_ j ( j e. A , k e. C |-> X )
24		nfcv 2764	. . . . . . . 8 |- F/_ j z
25	23, 24	nffv 6198	. . . . . . 7 |- F/_ j ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z )
26	25	nfeq1 2778	. . . . . 6 |- F/ j ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0.
27		nfv 1843	. . . . . . 7 |- F/ k ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
28		nfmpt22 6723	. . . . . . . . 9 |- F/_ k ( j e. A , k e. C |-> X )
29		nfcv 2764	. . . . . . . . 9 |- F/_ k z
30	28, 29	nffv 6198	. . . . . . . 8 |- F/_ k ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z )
31	30	nfeq1 2778	. . . . . . 7 |- F/ k ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0.
32		simprr 796	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> z = <. j , k >. )
33	32	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. ) )
34		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. )
35		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
36	32, 35	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> <. j , k >. e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) )
37	36	eldifad 3586	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) )
38		opeliunxp 5170	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( <. j , k >. e. U_ j e. A ( { j } X. C ) <-> ( j e. A /\ k e. C ) )
39	37, 38	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( j e. A /\ k e. C ) )
40	39	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> j e. A )
41	39	simprd 479	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> k e. C )
42	39, 5	syldan 487	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> X e. B )
43	1	ovmpt4g 6783	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( j e. A /\ k e. C /\ X e. B ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
44	40, 41, 42, 43	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( j ( j e. A , k e. C |-> X ) k ) = X )
45	34, 44	syl5eqr 2670	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` <. j , k >. ) = X )
46		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) -> -. z e. U )
47	46	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> -. z e. U )
48	32	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( z e. U <-> <. j , k >. e. U ) )
49		df-br 4654	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( j U k <-> <. j , k >. e. U )
50	48, 49	syl6bbr 278	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( z e. U <-> j U k ) )
51	47, 50	mtbid 314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> -. j U k )
52	39, 51	jca 554	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) )
53		gsum2d2.n	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( ( j e. A /\ k e. C ) /\ -. j U k ) ) -> X = .0. )
54	52, 53	syldan 487	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> X = .0. )
55	33, 45, 54	3eqtrd 2660	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) /\ z = <. j , k >. ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. )
56	55	expr 643	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
57	27, 31, 56	exlimd 2087	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( E. k z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
58	22, 26, 57	exlimd 2087	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( E. j E. k z = <. j , k >. -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. ) )
59	16, 58	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( U_ j e. A ( { j } X. C ) \ U ) ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) ` z ) = .0. )
60	8, 59	suppss 7325	. . 3 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) C_ U )
61		ssfi 8180	. . 3 |- ( ( U e. Fin /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) C_ U ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
62	4, 60, 61	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin )
63		gsum2d2.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. V )
64		gsum2d2.r	. . . . 5 |- ( ( ph /\ j e. A ) -> C e. W )
65	64	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ph -> A. j e. A C e. W )
66	1	mpt2exxg 7244	. . . 4 |- ( ( A e. V /\ A. j e. A C e. W ) -> ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V )
67	63, 65, 66	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V )
68		gsum2d2.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` G )
69		fvex 6201	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) e. _V
70	68, 69	eqeltri 2697	. . . 4 |- .0. e. _V
71	70	a1i 11	. . 3 |- ( ph -> .0. e. _V )
72		isfsupp 8279	. . 3 |- ( ( ( j e. A , k e. C |-> X ) e. _V /\ .0. e. _V ) -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. <-> ( Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
73	67, 71, 72	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> ( ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. <-> ( Fun ( j e. A , k e. C |-> X ) /\ ( ( j e. A , k e. C |-> X ) supp .0. ) e. Fin ) ) )
74	3, 62, 73	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> ( j e. A , k e. C |-> X ) finSupp .0. )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Rel wrel 5119   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275   Basecbs 15857   0gc0g 16100  CMndccmn 18193

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  gsum2d2  18373  gsumcom2  18374