Theorem heiborlem1 33610

Description: Lemma for heibor 33620. We work with a fixed open cover U throughout. The set K is the set of all subsets of X that admit no finite subcover of U. (We wish to prove that K is empty.) If a set C has no finite subcover, then any finite cover of C must contain a set that also has no finite subcover. (Contributed by Jeff Madsen, 23-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )
heibor.3	|- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
heiborlem1.4	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
heiborlem1	|- ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B /\ C e. K ) -> E. x e. A B e. K )

Distinct variable groups:   x, A   x, u, v, D   u, B, v   u, J, v, x   u, U, v, x   u, C, v   x, K

Allowed substitution hints:   A( v, u)   B( x)   C( x)   K( v, u)

Proof of Theorem heiborlem1

Dummy variable t is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heiborlem1.4	. . . . . . . 8 |- B e. _V
2		sseq1 3626	. . . . . . . . . 10 |- ( u = B -> ( u C_ U. v <-> B C_ U. v ) )
3	2	rexbidv 3052	. . . . . . . . 9 |- ( u = B -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v ) )
4	3	notbid 308	. . . . . . . 8 |- ( u = B -> ( -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v ) )
5		heibor.3	. . . . . . . 8 |- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
6	1, 4, 5	elab2 3354	. . . . . . 7 |- ( B e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v )
7	6	con2bii 347	. . . . . 6 |- ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v <-> -. B e. K )
8	7	ralbii 2980	. . . . 5 |- ( A. x e. A E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v <-> A. x e. A -. B e. K )
9		ralnex 2992	. . . . 5 |- ( A. x e. A -. B e. K <-> -. E. x e. A B e. K )
10	8, 9	bitr2i 265	. . . 4 |- ( -. E. x e. A B e. K <-> A. x e. A E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v )
11		unieq 4444	. . . . . . . . 9 |- ( v = ( t ` x ) -> U. v = U. ( t ` x ) )
12	11	sseq2d 3633	. . . . . . . 8 |- ( v = ( t ` x ) -> ( B C_ U. v <-> B C_ U. ( t ` x ) ) )
13	12	ac6sfi 8204	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Fin /\ A. x e. A E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v ) -> E. t ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) )
14	13	ex 450	. . . . . 6 |- ( A e. Fin -> ( A. x e. A E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v -> E. t ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) )
15	14	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) -> ( A. x e. A E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v -> E. t ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) )
16		sseq1 3626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = C -> ( u C_ U. v <-> C C_ U. v ) )
17	16	rexbidv 3052	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = C -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) C C_ U. v ) )
18	17	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( u = C -> ( -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) C C_ U. v ) )
19	18, 5	elab2g 3353	. . . . . . . . 9 |- ( C e. K -> ( C e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) C C_ U. v ) )
20	19	ibi 256	. . . . . . . 8 |- ( C e. K -> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) C C_ U. v )
21		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) -> ran t C_ ( ~P U i^i Fin ) )
22	21	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> ran t C_ ( ~P U i^i Fin ) )
23		inss1 3833	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ ~P U
24	22, 23	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> ran t C_ ~P U )
25		sspwuni 4611	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ran t C_ ~P U <-> U. ran t C_ U )
26	24, 25	sylib 208	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> U. ran t C_ U )
27		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- t e. _V
28	27	rnex 7100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran t e. _V
29	28	uniex 6953	. . . . . . . . . . . . 13 |- U. ran t e. _V
30	29	elpw 4164	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U. ran t e. ~P U <-> U. ran t C_ U )
31	26, 30	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> U. ran t e. ~P U )
32		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) -> t Fn A )
33	32	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> t Fn A )
34		dffn4 6121	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( t Fn A <-> t : A -onto-> ran t )
35	33, 34	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> t : A -onto-> ran t )
36		fofi 8252	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ t : A -onto-> ran t ) -> ran t e. Fin )
37	35, 36	syldan 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> ran t e. Fin )
38		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ Fin
39	22, 38	syl6ss 3615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> ran t C_ Fin )
40		unifi 8255	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ran t e. Fin /\ ran t C_ Fin ) -> U. ran t e. Fin )
41	37, 39, 40	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> U. ran t e. Fin )
42	31, 41	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> U. ran t e. ( ~P U i^i Fin ) )
43	42	adantlr 751	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> U. ran t e. ( ~P U i^i Fin ) )
44		simplr 792	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> C C_ U_ x e. A B )
45		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( t Fn A /\ x e. A ) -> ( t ` x ) e. ran t )
46	32, 45	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ x e. A ) -> ( t ` x ) e. ran t )
47	46	adantll 750	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( A e. Fin /\ t : A --> ( ~P U i^i Fin ) ) /\ x e. A ) -> ( t ` x ) e. ran t )
48		elssuni 4467	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t ` x ) e. ran t -> ( t ` x ) C_ U. ran t )
49		uniss 4458	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( t ` x ) C_ U. ran t -> U. ( t ` x ) C_ U. U. ran t )
50	47, 48, 49	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. Fin /\ t : A --> ( ~P U i^i Fin ) ) /\ x e. A ) -> U. ( t ` x ) C_ U. U. ran t )
51		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B C_ U. ( t ` x ) -> ( U. ( t ` x ) C_ U. U. ran t -> B C_ U. U. ran t ) )
52	50, 51	syl5com 31	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. Fin /\ t : A --> ( ~P U i^i Fin ) ) /\ x e. A ) -> ( B C_ U. ( t ` x ) -> B C_ U. U. ran t ) )
53	52	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. Fin /\ t : A --> ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) -> A. x e. A B C_ U. U. ran t ) )
54	53	impr 649	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> A. x e. A B C_ U. U. ran t )
55		iunss 4561	. . . . . . . . . . . 12 |- ( U_ x e. A B C_ U. U. ran t <-> A. x e. A B C_ U. U. ran t )
56	54, 55	sylibr 224	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Fin /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> U_ x e. A B C_ U. U. ran t )
57	56	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> U_ x e. A B C_ U. U. ran t )
58	44, 57	sstrd 3613	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> C C_ U. U. ran t )
59		unieq 4444	. . . . . . . . . . 11 |- ( v = U. ran t -> U. v = U. U. ran t )
60	59	sseq2d 3633	. . . . . . . . . 10 |- ( v = U. ran t -> ( C C_ U. v <-> C C_ U. U. ran t ) )
61	60	rspcev 3309	. . . . . . . . 9 |- ( ( U. ran t e. ( ~P U i^i Fin ) /\ C C_ U. U. ran t ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) C C_ U. v )
62	43, 58, 61	syl2anc 693	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) C C_ U. v )
63	20, 62	nsyl3 133	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) /\ ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) ) -> -. C e. K )
64	63	ex 450	. . . . . 6 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) -> ( ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) -> -. C e. K ) )
65	64	exlimdv 1861	. . . . 5 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) -> ( E. t ( t : A --> ( ~P U i^i Fin ) /\ A. x e. A B C_ U. ( t ` x ) ) -> -. C e. K ) )
66	15, 65	syld 47	. . . 4 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) -> ( A. x e. A E. v e. ( ~P U i^i Fin ) B C_ U. v -> -. C e. K ) )
67	10, 66	syl5bi 232	. . 3 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) -> ( -. E. x e. A B e. K -> -. C e. K ) )
68	67	con4d 114	. 2 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B ) -> ( C e. K -> E. x e. A B e. K ) )
69	68	3impia 1261	1 |- ( ( A e. Fin /\ C C_ U_ x e. A B /\ C e. K ) -> E. x e. A B e. K )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   U_ciun 4520   ran crn 5115   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888   Fincfn 7955   MetOpencmopn 19736

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  heiborlem3  33612  heiborlem10  33619