Theorem heiborlem10 33619

Description: Lemma for heibor 33620. The last remaining piece of the proof is to find an element C such that C G 0, i.e. C is an element of ( F ` 0 ) that has no finite subcover, which is true by heiborlem1 33610, since ( F ` 0 ) is a finite cover of X, which has no finite subcover. Thus, the rest of the proof follows to a contradiction, and thus there must be a finite subcover of U that covers X, i.e. X is compact. (Contributed by Jeff Madsen, 22-Jan-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )
heibor.3	|- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
heibor.4	|- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
heibor.5	|- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
heibor.6	|- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
heibor.7	|- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
heibor.8	|- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )

Assertion

Ref	Expression
heiborlem10	|- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Distinct variable groups:   y, n, u, F   m, n, u, v, y, z, D   B, n, u, v, y   m, J, n, u, v, y, z   U, n, u, v, y, z   m, X, n, u, v, y, z   n, K, y, z   ph, v

Allowed substitution hints:   ph( y, z, u, m, n)   B( z, m)   U( m)   F( z, v, m)   G( y, z, v, u, m, n)   K( v, u, m)

Proof of Theorem heiborlem10

Dummy variables t x g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.7	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
2		0nn0 11307	. . . . . . . 8 |- 0 e. NN0
3		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( ~P X i^i Fin ) C_ Fin
4		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. ( ~P X i^i Fin ) )
5	3, 4	sseldi 3601	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) /\ 0 e. NN0 ) -> ( F ` 0 ) e. Fin )
6	1, 2, 5	sylancl 694	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( F ` 0 ) e. Fin )
7		heibor.8	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
8		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( F ` n ) = ( F ` 0 ) )
9		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( n = 0 -> ( y B n ) = ( y B 0 ) )
10	8, 9	iuneq12d 4546	. . . . . . . . . . 11 |- ( n = 0 -> U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
11	10	eqeq2d 2632	. . . . . . . . . 10 |- ( n = 0 -> ( X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) <-> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) )
12	11	rspccva 3308	. . . . . . . . 9 |- ( ( A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) /\ 0 e. NN0 ) -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
13	7, 2, 12	sylancl 694	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
14		eqimss 3657	. . . . . . . 8 |- ( X = U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) )
16		heibor.1	. . . . . . . . . 10 |- J = ( MetOpen ` D )
17		heibor.3	. . . . . . . . . 10 |- K = { u | -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v }
18		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( y B 0 ) e. _V
19	16, 17, 18	heiborlem1 33610	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K )
20		oveq1 6657	. . . . . . . . . . 11 |- ( y = x -> ( y B 0 ) = ( x B 0 ) )
21	20	eleq1d 2686	. . . . . . . . . 10 |- ( y = x -> ( ( y B 0 ) e. K <-> ( x B 0 ) e. K ) )
22	21	cbvrexv 3172	. . . . . . . . 9 |- ( E. y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) e. K <-> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
23	19, 22	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) /\ X e. K ) -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K )
24	23	3expia 1267	. . . . . . 7 |- ( ( ( F ` 0 ) e. Fin /\ X C_ U_ y e. ( F ` 0 ) ( y B 0 ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
25	6, 15, 24	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
26	25	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K ) )
27		heibor.4	. . . . . . . . . 10 |- G = { <. y , n >. | ( n e. NN0 /\ y e. ( F ` n ) /\ ( y B n ) e. K ) }
28		vex 3203	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
29		c0ex 10034	. . . . . . . . . 10 |- 0 e. _V
30	16, 17, 27, 28, 29	heiborlem2 33611	. . . . . . . . 9 |- ( x G 0 <-> ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) )
31		heibor.5	. . . . . . . . . . . 12 |- B = ( z e. X , m e. NN0 |-> ( z ( ball ` D ) ( 1 / ( 2 ^ m ) ) ) )
32		heibor.6	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> D e. ( CMet ` X ) )
33	16, 17, 27, 31, 32, 1, 7	heiborlem3 33612	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
34	33	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
35	32	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> D e. ( CMet ` X ) )
36	1	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> F : NN0 --> ( ~P X i^i Fin ) )
37	7	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. n e. NN0 X = U_ y e. ( F ` n ) ( y B n ) )
38		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) )
39		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( g ` x ) = ( g ` t ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( 2nd ` x ) = ( 2nd ` t ) )
41	40	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( 2nd ` x ) + 1 ) = ( ( 2nd ` t ) + 1 ) )
42	39, 41	breq12d 4666	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) <-> ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
43		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( B ` x ) = ( B ` t ) )
44	39, 41	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = t -> ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) = ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) )
45	43, 44	ineq12d 3815	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = t -> ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) = ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) )
46	45	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = t -> ( ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K <-> ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
47	42, 46	anbi12d 747	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( x = t -> ( ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) ) )
48	47	cbvralv 3171	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) <-> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
49	38, 48	sylib 208	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> A. t e. G ( ( g ` t ) G ( ( 2nd ` t ) + 1 ) /\ ( ( B ` t ) i^i ( ( g ` t ) B ( ( 2nd ` t ) + 1 ) ) ) e. K ) )
50		simprl 794	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> x G 0 )
51		eqeq1 2626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g = 0 <-> m = 0 ) )
52		oveq1 6657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( g = m -> ( g - 1 ) = ( m - 1 ) )
53	51, 52	ifbieq2d 4111	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( g = m -> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) = if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
54	53	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) )
55		seqeq3 12806	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) = ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) -> seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) ) )
56	54, 55	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . 13 |- seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) = seq 0 ( g , ( m e. NN0 |-> if ( m = 0 , x , ( m - 1 ) ) ) )
57		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. ) = ( n e. NN |-> <. ( seq 0 ( g , ( g e. NN0 |-> if ( g = 0 , x , ( g - 1 ) ) ) ) ` n ) , ( 3 / ( 2 ^ n ) ) >. )
58		simplrl 800	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U C_ J )
59		cmetmet 23084	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> D e. ( Met ` X ) )
60		metxmet 22139	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
61	16	mopnuni 22246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
62	32, 59, 60, 61	4syl 19	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> X = U. J )
63	62	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> X = U. J )
64		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. J = U. U )
65	63, 64	eqtr2d 2657	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U. U = X )
66	65	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> U. U = X )
67	16, 17, 27, 31, 35, 36, 37, 49, 50, 56, 57, 58, 66	heiborlem9 33618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( x G 0 /\ A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) ) ) -> -. X e. K )
68	67	expr 643	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
69	68	exlimdv 1861	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> ( E. g A. x e. G ( ( g ` x ) G ( ( 2nd ` x ) + 1 ) /\ ( ( B ` x ) i^i ( ( g ` x ) B ( ( 2nd ` x ) + 1 ) ) ) e. K ) -> -. X e. K ) )
70	34, 69	mpd 15	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ x G 0 ) -> -. X e. K )
71	30, 70	sylan2br 493	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ ( 0 e. NN0 /\ x e. ( F ` 0 ) /\ ( x B 0 ) e. K ) ) -> -. X e. K )
72	71	3exp2 1285	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( 0 e. NN0 -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) ) )
73	2, 72	mpi 20	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( x e. ( F ` 0 ) -> ( ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) ) )
74	73	rexlimdv 3030	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. x e. ( F ` 0 ) ( x B 0 ) e. K -> -. X e. K ) )
75	26, 74	syld 47	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K -> -. X e. K ) )
76	75	pm2.01d 181	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> -. X e. K )
77		elfvdm 6220	. . . . . 6 |- ( D e. ( CMet ` X ) -> X e. dom CMet )
78		sseq1 3626	. . . . . . . . 9 |- ( u = X -> ( u C_ U. v <-> X C_ U. v ) )
79	78	rexbidv 3052	. . . . . . . 8 |- ( u = X -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
80	79	notbid 308	. . . . . . 7 |- ( u = X -> ( -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) u C_ U. v <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
81	80, 17	elab2g 3353	. . . . . 6 |- ( X e. dom CMet -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
82	32, 77, 81	3syl 18	. . . . 5 |- ( ph -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
83	82	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( X e. K <-> -. E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v ) )
84	83	con2bid 344	. . 3 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> -. X e. K ) )
85	76, 84	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v )
86	62	ad2antrr 762	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> X = U. J )
87	86	sseq1d 3632	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J C_ U. v ) )
88		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( ~P U i^i Fin ) C_ ~P U
89	88	sseli 3599	. . . . . . . 8 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v e. ~P U )
90	89	elpwid 4170	. . . . . . 7 |- ( v e. ( ~P U i^i Fin ) -> v C_ U )
91		simprl 794	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> U C_ J )
92		sstr 3611	. . . . . . . 8 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> v C_ J )
93	92	unissd 4462	. . . . . . 7 |- ( ( v C_ U /\ U C_ J ) -> U. v C_ U. J )
94	90, 91, 93	syl2anr 495	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> U. v C_ U. J )
95	94	biantrud 528	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) ) )
96		eqss 3618	. . . . 5 |- ( U. J = U. v <-> ( U. J C_ U. v /\ U. v C_ U. J ) )
97	95, 96	syl6bbr 278	. . . 4 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( U. J C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
98	87, 97	bitrd 268	. . 3 |- ( ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) /\ v e. ( ~P U i^i Fin ) ) -> ( X C_ U. v <-> U. J = U. v ) )
99	98	rexbidva 3049	. 2 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> ( E. v e. ( ~P U i^i Fin ) X C_ U. v <-> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v ) )
100	85, 99	mpbid 222	1 |- ( ( ph /\ ( U C_ J /\ U. J = U. U ) ) -> E. v e. ( ~P U i^i Fin ) U. J = U. v )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ifcif 4086   ~Pcpw 4158   <.cop 4183   U.cuni 4436   U_ciun 4520   class class class wbr 4653   {copab 4712   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   2ndc2nd 7167   Fincfn 7955   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   - cmin 10266   / cdiv 10684   NNcn 11020   2c2 11070   3c3 11071   NN0cn0 11292   seqcseq 12801   ^cexp 12860   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   CMetcms 23052

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-icc 12182  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lm 21033  df-haus 21119  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055

This theorem is referenced by:  heibor  33620