Theorem heibor1 33609

Description: One half of heibor 33620, that does not require any Choice. A compact metric space is complete and totally bounded. We prove completeness in cmpcmet 23116 and total boundedness here, which follows trivially from the fact that the set of all r-balls is an open cover of X, so finitely many cover X. (Contributed by Jeff Madsen, 16-Jan-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
heibor.1	|- J = ( MetOpen ` D )

Assertion

Ref	Expression
heibor1	|- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Proof of Theorem heibor1

Dummy variables x y r z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		heibor.1	. . . . . 6 |- J = ( MetOpen ` D )
2		simpll 790	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ ( x e. ( Cau ` D ) /\ x : NN --> X ) ) -> D e. ( Met ` X ) )
3		simplr 792	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ ( x e. ( Cau ` D ) /\ x : NN --> X ) ) -> J e. Comp )
4		simprl 794	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ ( x e. ( Cau ` D ) /\ x : NN --> X ) ) -> x e. ( Cau ` D ) )
5		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ ( x e. ( Cau ` D ) /\ x : NN --> X ) ) -> x : NN --> X )
6	1, 2, 3, 4, 5	heibor1lem 33608	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ ( x e. ( Cau ` D ) /\ x : NN --> X ) ) -> x e. dom ( ~~> t ` J ) )
7	6	expr 643	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ x e. ( Cau ` D ) ) -> ( x : NN --> X -> x e. dom ( ~~> t ` J ) ) )
8	7	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> A. x e. ( Cau ` D ) ( x : NN --> X -> x e. dom ( ~~> t ` J ) ) )
9		nnuz 11723	. . . 4 |- NN = ( ZZ>= ` 1 )
10		1zzd 11408	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> 1 e. ZZ )
11		simpl 473	. . . 4 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> D e. ( Met ` X ) )
12	9, 1, 10, 11	iscmet3 23091	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> ( D e. ( CMet ` X ) <-> A. x e. ( Cau ` D ) ( x : NN --> X -> x e. dom ( ~~> t ` J ) ) ) )
13	8, 12	mpbird 247	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> D e. ( CMet ` X ) )
14		simplr 792	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> J e. Comp )
15		metxmet 22139	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( D e. ( Met ` X ) -> D e. ( *Met ` X ) )
16		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. X -> z e. X )
17		rpxr 11840	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( r e. RR+ -> r e. RR* )
18	1	blopn 22305	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ r e. RR* ) -> ( z ( ball ` D ) r ) e. J )
19	15, 16, 17, 18	syl3an 1368	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ z e. X /\ r e. RR+ ) -> ( z ( ball ` D ) r ) e. J )
20	19	3com23 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ /\ z e. X ) -> ( z ( ball ` D ) r ) e. J )
21	20	3expa 1265	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ ) /\ z e. X ) -> ( z ( ball ` D ) r ) e. J )
22		eleq1a 2696	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z ( ball ` D ) r ) e. J -> ( y = ( z ( ball ` D ) r ) -> y e. J ) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ ) /\ z e. X ) -> ( y = ( z ( ball ` D ) r ) -> y e. J ) )
24	23	rexlimdva 3031	. . . . . . . . 9 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) -> y e. J ) )
25	24	adantlr 751	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) -> y e. J ) )
26	25	abssdv 3676	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } C_ J )
27	15	ad2antrr 762	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> D e. ( *Met ` X ) )
28	1	mopnuni 22246	. . . . . . . . . 10 |- ( D e. ( *Met ` X ) -> X = U. J )
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> X = U. J )
30		blcntr 22218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( D e. ( *Met ` X ) /\ z e. X /\ r e. RR+ ) -> z e. ( z ( ball ` D ) r ) )
31	15, 30	syl3an1 1359	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ z e. X /\ r e. RR+ ) -> z e. ( z ( ball ` D ) r ) )
32	31	3com23 1271	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ /\ z e. X ) -> z e. ( z ( ball ` D ) r ) )
33	32	3expa 1265	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ ) /\ z e. X ) -> z e. ( z ( ball ` D ) r ) )
34		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z ( ball ` D ) r ) e. _V
35	34	elabrex 6501	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( z e. X -> ( z ( ball ` D ) r ) e. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
36	35	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ ) /\ z e. X ) -> ( z ( ball ` D ) r ) e. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
37		elunii 4441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( z e. ( z ( ball ` D ) r ) /\ ( z ( ball ` D ) r ) e. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) -> z e. U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
38	33, 36, 37	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ ) /\ z e. X ) -> z e. U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
39	38	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ r e. RR+ ) -> A. z e. X z e. U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
40	39	adantlr 751	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> A. z e. X z e. U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
41		nfcv 2764	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ z X
42		nfre1 3005	. . . . . . . . . . . . 13 |- F/ z E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r )
43	42	nfab 2769	. . . . . . . . . . . 12 |- F/_ z { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) }
44	43	nfuni 4442	. . . . . . . . . . 11 |- F/_ z U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) }
45	41, 44	dfss3f 3595	. . . . . . . . . 10 |- ( X C_ U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } <-> A. z e. X z e. U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
46	40, 45	sylibr 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> X C_ U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
47	29, 46	eqsstr3d 3640	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> U. J C_ U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
48	26	unissd 4462	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } C_ U. J )
49	47, 48	eqssd 3620	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> U. J = U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
50		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
51	50	cmpcov 21192	. . . . . . 7 |- ( ( J e. Comp /\ { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } C_ J /\ U. J = U. { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) -> E. x e. ( ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } i^i Fin ) U. J = U. x )
52	14, 26, 49, 51	syl3anc 1326	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> E. x e. ( ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } i^i Fin ) U. J = U. x )
53		elin 3796	. . . . . . . . . 10 |- ( x e. ( ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } i^i Fin ) <-> ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ x e. Fin ) )
54		ancom 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ x e. Fin ) <-> ( x e. Fin /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) )
55	53, 54	bitri 264	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } i^i Fin ) <-> ( x e. Fin /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) )
56	55	anbi1i 731	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ( ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } i^i Fin ) /\ U. J = U. x ) <-> ( ( x e. Fin /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) /\ U. J = U. x ) )
57		anass 681	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. Fin /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) /\ U. J = U. x ) <-> ( x e. Fin /\ ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ U. J = U. x ) ) )
58	56, 57	bitri 264	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } i^i Fin ) /\ U. J = U. x ) <-> ( x e. Fin /\ ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ U. J = U. x ) ) )
59	58	rexbii2 3039	. . . . . 6 |- ( E. x e. ( ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } i^i Fin ) U. J = U. x <-> E. x e. Fin ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ U. J = U. x ) )
60	52, 59	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> E. x e. Fin ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ U. J = U. x ) )
61		ancom 466	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ U. J = U. x ) <-> ( U. J = U. x /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) )
62		eqcom 2629	. . . . . . . . . 10 |- ( U. x = X <-> X = U. x )
63	29	eqeq1d 2624	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> ( X = U. x <-> U. J = U. x ) )
64	62, 63	syl5rbb 273	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> ( U. J = U. x <-> U. x = X ) )
65	64	anbi1d 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( U. J = U. x /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) <-> ( U. x = X /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) ) )
66	61, 65	syl5bb 272	. . . . . . 7 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ U. J = U. x ) <-> ( U. x = X /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) ) )
67		elpwi 4168	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } -> x C_ { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } )
68		ssabral 3673	. . . . . . . . 9 |- ( x C_ { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } <-> A. y e. x E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) )
69	67, 68	sylib 208	. . . . . . . 8 |- ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } -> A. y e. x E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) )
70	69	anim2i 593	. . . . . . 7 |- ( ( U. x = X /\ x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } ) -> ( U. x = X /\ A. y e. x E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) ) )
71	66, 70	syl6bi 243	. . . . . 6 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> ( ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ U. J = U. x ) -> ( U. x = X /\ A. y e. x E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) ) ) )
72	71	reximdv 3016	. . . . 5 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> ( E. x e. Fin ( x e. ~P { y | E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) } /\ U. J = U. x ) -> E. x e. Fin ( U. x = X /\ A. y e. x E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) ) ) )
73	60, 72	mpd 15	. . . 4 |- ( ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) /\ r e. RR+ ) -> E. x e. Fin ( U. x = X /\ A. y e. x E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) ) )
74	73	ralrimiva 2966	. . 3 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> A. r e. RR+ E. x e. Fin ( U. x = X /\ A. y e. x E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) ) )
75		istotbnd 33568	. . 3 |- ( D e. ( TotBnd ` X ) <-> ( D e. ( Met ` X ) /\ A. r e. RR+ E. x e. Fin ( U. x = X /\ A. y e. x E. z e. X y = ( z ( ball ` D ) r ) ) ) )
76	11, 74, 75	sylanbrc 698	. 2 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> D e. ( TotBnd ` X ) )
77	13, 76	jca 554	1 |- ( ( D e. ( Met ` X ) /\ J e. Comp ) -> ( D e. ( CMet ` X ) /\ D e. ( TotBnd ` X ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   A.wral 2912   E.wrex 2913   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   U.cuni 4436   dom cdm 5114   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   1c1 9937   RR*cxr 10073   NNcn 11020   RR+crp 11832   *Metcxmt 19731   Metcme 19732   ballcbl 19733   MetOpencmopn 19736   ~~> tclm 21030   Compccmp 21189   Caucca 23051   CMetcms 23052   TotBndctotbnd 33565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538  ax-cc 9257  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-pm 7860  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-sup 8348  df-inf 8349  df-oi 8415  df-card 8765  df-acn 8768  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ico 12181  df-fz 12327  df-fl 12593  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-clim 14219  df-rlim 14220  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-lm 21033  df-cmp 21190  df-fil 21650  df-fm 21742  df-flim 21743  df-flf 21744  df-cfil 23053  df-cau 23054  df-cmet 23055  df-totbnd 33567

This theorem is referenced by:  heibor  33620