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Theorem iccpartres 41354
Description: The restriction of a partition is a partition. (Contributed by AV, 16-Jul-2020.)
Assertion
Ref Expression
iccpartres |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` ( M + 1 ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. (RePart ` M ) )
Proof of Theorem iccpartres
Dummy variable i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 peano2nn 11032 . . . 4 |- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. NN )
2 iccpart 41352 . . . 4 |- ( ( M + 1 ) e. NN -> ( P e. (RePart ` ( M + 1 ) ) <-> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) )
31, 2syl 17 . . 3 |- ( M e. NN -> ( P e. (RePart ` ( M + 1 ) ) <-> ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) )
4 simpl 473 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) )
5 nnz 11399 . . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> M e. ZZ )
6 uzid 11702 . . . . . . . . 9 |- ( M e. ZZ -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
75, 6syl 17 . . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> M e. ( ZZ>= ` M ) )
8 peano2uz 11741 . . . . . . . 8 |- ( M e. ( ZZ>= ` M ) -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
97, 8syl 17 . . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) )
10 fzss2 12381 . . . . . . 7 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + 1 ) ) )
119, 10syl 17 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + 1 ) ) )
12 elmapssres 7882 . . . . . 6 |- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ ( 0 ... M ) C_ ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) )
134, 11, 12syl2anr 495 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) )
14 fzoss2 12496 . . . . . . . . . 10 |- ( ( M + 1 ) e. ( ZZ>= ` M ) -> ( 0..^ M ) C_ ( 0..^ ( M + 1 ) ) )
159, 14syl 17 . . . . . . . . 9 |- ( M e. NN -> ( 0..^ M ) C_ ( 0..^ ( M + 1 ) ) )
16 ssralv 3666 . . . . . . . . 9 |- ( ( 0..^ M ) C_ ( 0..^ ( M + 1 ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) )
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 |- ( M e. NN -> ( A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) )
1817adantld 483 . . . . . . 7 |- ( M e. NN -> ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) )
1918imp 445 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) )
20 fzossfz 12488 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M )
2120a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) -> ( 0..^ M ) C_ ( 0 ... M ) )
2221sselda 3603 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0 ... M ) )
23 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) = ( P ` i ) )
2423eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( i e. ( 0 ... M ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) )
2522, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( P ` i ) = ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) )
26 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( 0..^ M ) )
27 elfzouz 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( i e. ( 0..^ M ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
2827adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> i e. ( ZZ>= ` 0 ) )
29 fzofzp1b 12566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( i e. ( ZZ>= ` 0 ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i e. ( 0..^ M ) <-> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) ) )
3126, 30mpbid 222 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) )
32 fvres 6207 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( i + 1 ) e. ( 0 ... M ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( i + 1 ) ) )
3331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) = ( P ` ( i + 1 ) ) )
3433eqcomd 2628 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( P ` ( i + 1 ) ) = ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) )
3525, 34breq12d 4666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) <-> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) )
3635biimpd 219 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) /\ i e. ( 0..^ M ) ) -> ( ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) )
3736ralimdva 2962 . . . . . . . . 9 |- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ M e. NN ) -> ( A. i e. ( 0..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) )
3837ex 450 . . . . . . . 8 |- ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) -> ( M e. NN -> ( A. i e. ( 0..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) )
3938adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> ( M e. NN -> ( A. i e. ( 0..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) )
4039impcom 446 . . . . . 6 |- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( A. i e. ( 0..^ M ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) )
4119, 40mpd 15 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> A. i e. ( 0..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) )
42 iccpart 41352 . . . . . 6 |- ( M e. NN -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) e. (RePart ` M ) <-> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) )
4342adantr 481 . . . . 5 |- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) e. (RePart ` M ) <-> ( ( P |` ( 0 ... M ) ) e. ( RR* ^m ( 0 ... M ) ) /\ A. i e. ( 0..^ M ) ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` i ) < ( ( P |` ( 0 ... M ) ) ` ( i + 1 ) ) ) ) )
4413, 41, 43mpbir2and 957 . . . 4 |- ( ( M e. NN /\ ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. (RePart ` M ) )
4544ex 450 . . 3 |- ( M e. NN -> ( ( P e. ( RR* ^m ( 0 ... ( M + 1 ) ) ) /\ A. i e. ( 0..^ ( M + 1 ) ) ( P ` i ) < ( P ` ( i + 1 ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. (RePart ` M ) ) )
463, 45sylbid 230 . 2 |- ( M e. NN -> ( P e. (RePart ` ( M + 1 ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. (RePart ` M ) ) )
4746imp 445 1 |- ( ( M e. NN /\ P e. (RePart ` ( M + 1 ) ) ) -> ( P |` ( 0 ... M ) ) e. (RePart ` M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   |` cres 5116   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   RR*cxr 10073   < clt 10074   NNcn 11020   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ...cfz 12326  ..^cfzo 12465  RePartciccp 41349
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-fzo 12466  df-iccp 41350
This theorem is referenced by:  iccelpart  41369
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