Theorem imasplusg 16177

Description: The group operation in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasbas.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasbas.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasbas.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasbas.r	|- ( ph -> R e. Z )
imasplusg.p	|- .+ = ( +g ` R )
imasplusg.a	|- .+b = ( +g ` U )

Assertion

Ref	Expression
imasplusg	|- ( ph -> .+b = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } )

Distinct variable groups:   q, p, F   R, p, q   ph, p, q   V, p, q

Allowed substitution hints:   B( q, p)   .+ ( q, p)   .+b ( q, p)   U( q, p)   Z( q, p)

Proof of Theorem imasplusg

Dummy variables g h i n x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasbas.u	. . 3 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasbas.v	. . 3 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasplusg.p	. . 3 |- .+ = ( +g ` R )
4		eqid 2622	. . 3 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
5		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` R ) = (Scalar ` R )
6		eqid 2622	. . 3 |- ( Base ` (Scalar ` R ) ) = ( Base ` (Scalar ` R ) )
7		eqid 2622	. . 3 |- ( .s ` R ) = ( .s ` R )
8		eqid 2622	. . 3 |- ( .i ` R ) = ( .i ` R )
9		eqid 2622	. . 3 |- ( TopOpen ` R ) = ( TopOpen ` R )
10		eqid 2622	. . 3 |- ( dist ` R ) = ( dist ` R )
11		eqid 2622	. . 3 |- ( le ` R ) = ( le ` R )
12		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } )
13		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } )
14		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) = U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) )
15		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } )
16		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( ( TopOpen ` R ) qTop F ) = ( ( TopOpen ` R ) qTop F ) )
17		imasbas.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
18		imasbas.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Z )
19		eqid 2622	. . . 4 |- ( dist ` U ) = ( dist ` U )
20	1, 2, 17, 18, 10, 19	imasds 16173	. . 3 |- ( ph -> ( dist ` U ) = ( x e. B , y e. B |-> inf ( U_ n e. NN ran ( g e. { h e. ( ( V X. V ) ^m ( 1 ... n ) ) | ( ( F ` ( 1st ` ( h ` 1 ) ) ) = x /\ ( F ` ( 2nd ` ( h ` n ) ) ) = y /\ A. i e. ( 1 ... ( n - 1 ) ) ( F ` ( 2nd ` ( h ` i ) ) ) = ( F ` ( 1st ` ( h ` ( i + 1 ) ) ) ) ) } |-> ( RR*s gsumg ( ( dist ` R ) o. g ) ) ) , RR* , < ) ) )
21		eqidd 2623	. . 3 |- ( ph -> ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) = ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) )
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 21, 17, 18	imasval 16171	. 2 |- ( ph -> U = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , ( ( TopOpen ` R ) qTop F ) >. , <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( dist ` U ) >. } ) )
23		eqid 2622	. . 3 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , ( ( TopOpen ` R ) qTop F ) >. , <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( dist ` U ) >. } ) = ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , ( ( TopOpen ` R ) qTop F ) >. , <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( dist ` U ) >. } )
24	23	imasvalstr 16112	. 2 |- ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , ( ( TopOpen ` R ) qTop F ) >. , <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( dist ` U ) >. } ) Struct <. 1 , ; 1 2 >.
25		plusgid 15977	. 2 |- +g = Slot ( +g ` ndx )
26		snsstp2 4348	. . . 4 |- { <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. }
27		ssun1 3776	. . . 4 |- { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } )
28	26, 27	sstri 3612	. . 3 |- { <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } )
29		ssun1 3776	. . 3 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } ) C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , ( ( TopOpen ` R ) qTop F ) >. , <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( dist ` U ) >. } )
30	28, 29	sstri 3612	. 2 |- { <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. } C_ ( ( { <. ( Base ` ndx ) , B >. , <. ( +g ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p ( .r ` R ) q ) ) >. } >. } u. { <. (Scalar ` ndx ) , (Scalar ` R ) >. , <. ( .s ` ndx ) , U_ q e. V ( p e. ( Base ` (Scalar ` R ) ) , x e. { ( F ` q ) } |-> ( F ` ( p ( .s ` R ) q ) ) ) >. , <. ( .i ` ndx ) , U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( p ( .i ` R ) q ) >. } >. } ) u. { <. (TopSet ` ndx ) , ( ( TopOpen ` R ) qTop F ) >. , <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. ( le ` R ) ) o. `' F ) >. , <. ( dist ` ndx ) , ( dist ` U ) >. } )
31		fvex 6201	. . . 4 |- ( Base ` R ) e. _V
32	2, 31	syl6eqel 2709	. . 3 |- ( ph -> V e. _V )
33		snex 4908	. . . . . 6 |- { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V
34	33	rgenw 2924	. . . . 5 |- A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V
35		iunexg 7143	. . . . 5 |- ( ( V e. _V /\ A. q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V ) -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V )
36	32, 34, 35	sylancl 694	. . . 4 |- ( ph -> U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V )
37	36	ralrimivw 2967	. . 3 |- ( ph -> A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V )
38		iunexg 7143	. . 3 |- ( ( V e. _V /\ A. p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V ) -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V )
39	32, 37, 38	syl2anc 693	. 2 |- ( ph -> U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } e. _V )
40		imasplusg.a	. 2 |- .+b = ( +g ` U )
41	22, 24, 25, 30, 39, 40	strfv3 15908	1 |- ( ph -> .+b = U_ p e. V U_ q e. V { <. <. ( F ` p ) , ( F ` q ) >. , ( F ` ( p .+ q ) ) >. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   u. cun 3572   {csn 4177   {ctp 4181   <.cop 4183   U_ciun 4520   `'ccnv 5113   o. ccom 5118   -onto->wfo 5886   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1c1 9937   2c2 11070  ;cdc 11493   ndxcnx 15854   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   .icip 15946  TopSetcts 15947   lecple 15948   distcds 15950   TopOpenctopn 16082   qTop cqtop 16163   "_s cimas 16164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-ip 15959  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ds 15964  df-imas 16168

This theorem is referenced by:  imasmulr  16178  imassca  16179  imasvsca  16180  imasip  16181  imastset  16182  imasle  16183  imasaddfn  16191  imasaddval  16192  imasaddf  16193  qusaddval  16213  qusaddf  16214