Theorem ipotset 17157

Description: Topology of the inclusion poset. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ipoval.i	|- I = (toInc ` F )
ipole.l	|- .<_ = ( le ` I )

Assertion

Ref	Expression
ipotset	|- ( F e. V -> (ordTop ` .<_ ) = (TopSet ` I ) )

Proof of Theorem ipotset

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvex 6201	. . 3 |- (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) e. _V
2		ipostr 17153	. . . 4 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } u. { <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } >. , <. ( oc ` ndx ) , ( x e. F |-> U. { y e. F | ( y i^i x ) = (/) } ) >. } ) Struct <. 1 , ; 1 1 >.
3		tsetid 16041	. . . 4 |- TopSet = Slot (TopSet ` ndx )
4		snsspr2 4346	. . . . 5 |- { <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } C_ { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. }
5		ssun1 3776	. . . . 5 |- { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } u. { <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } >. , <. ( oc ` ndx ) , ( x e. F |-> U. { y e. F | ( y i^i x ) = (/) } ) >. } )
6	4, 5	sstri 3612	. . . 4 |- { <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } C_ ( { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } u. { <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } >. , <. ( oc ` ndx ) , ( x e. F |-> U. { y e. F | ( y i^i x ) = (/) } ) >. } )
7	2, 3, 6	strfv 15907	. . 3 |- ( (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) e. _V -> (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) = (TopSet ` ( { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } u. { <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } >. , <. ( oc ` ndx ) , ( x e. F |-> U. { y e. F | ( y i^i x ) = (/) } ) >. } ) ) )
8	1, 7	ax-mp 5	. 2 |- (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) = (TopSet ` ( { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } u. { <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } >. , <. ( oc ` ndx ) , ( x e. F |-> U. { y e. F | ( y i^i x ) = (/) } ) >. } ) )
9		ipoval.i	. . . . 5 |- I = (toInc ` F )
10	9	ipolerval 17156	. . . 4 |- ( F e. V -> { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } = ( le ` I ) )
11		ipole.l	. . . 4 |- .<_ = ( le ` I )
12	10, 11	syl6reqr 2675	. . 3 |- ( F e. V -> .<_ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } )
13	12	fveq2d 6195	. 2 |- ( F e. V -> (ordTop ` .<_ ) = (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) )
14		eqid 2622	. . . 4 |- { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) }
15	9, 14	ipoval 17154	. . 3 |- ( F e. V -> I = ( { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } u. { <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } >. , <. ( oc ` ndx ) , ( x e. F |-> U. { y e. F | ( y i^i x ) = (/) } ) >. } ) )
16	15	fveq2d 6195	. 2 |- ( F e. V -> (TopSet ` I ) = (TopSet ` ( { <. ( Base ` ndx ) , F >. , <. (TopSet ` ndx ) , (ordTop ` { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } ) >. } u. { <. ( le ` ndx ) , { <. x , y >. | ( { x , y } C_ F /\ x C_ y ) } >. , <. ( oc ` ndx ) , ( x e. F |-> U. { y e. F | ( y i^i x ) = (/) } ) >. } ) ) )
17	8, 13, 16	3eqtr4a 2682	1 |- ( F e. V -> (ordTop ` .<_ ) = (TopSet ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   {csn 4177   {cpr 4179   <.cop 4183   U.cuni 4436   {copab 4712   |-> cmpt 4729   ` cfv 5888   1c1 9937  ;cdc 11493   ndxcnx 15854   Basecbs 15857  TopSetcts 15947   lecple 15948   occoc 15949  ordTopcordt 16159  toInccipo 17151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-tset 15960  df-ple 15961  df-ocomp 15963  df-ipo 17152

This theorem is referenced by: (None)