Theorem strfv 15907

Description: Extract a structure component C (such as the base set) from a structure S (such as a member of Poset, df-poset 16946) with a component extractor E (such as the base set extractor df-base 15863). By virtue of ndxid 15883, this can be done without having to refer to the hard-coded numeric index of E. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
strfv.s	|- S Struct X
strfv.e	|- E = Slot ( E ` ndx )
strfv.n	|- { <. ( E ` ndx ) , C >. } C_ S

Assertion

Ref	Expression
strfv	|- ( C e. V -> C = ( E ` S ) )

Proof of Theorem strfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		strfv.s	. . 3 |- S Struct X
2		structex 15868	. . 3 |- ( S Struct X -> S e. _V )
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 |- S e. _V
4	1	structfun 15873	. 2 |- Fun `' `' S
5		strfv.e	. 2 |- E = Slot ( E ` ndx )
6		strfv.n	. . 3 |- { <. ( E ` ndx ) , C >. } C_ S
7		opex 4932	. . . 4 |- <. ( E ` ndx ) , C >. e. _V
8	7	snss 4316	. . 3 |- ( <. ( E ` ndx ) , C >. e. S <-> { <. ( E ` ndx ) , C >. } C_ S )
9	6, 8	mpbir 221	. 2 |- <. ( E ` ndx ) , C >. e. S
10	3, 4, 5, 9	strfv2 15906	1 |- ( C e. V -> C = ( E ` S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   {csn 4177   <.cop 4183   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   Struct cstr 15853   ndxcnx 15854  Slot cslot 15856

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-slot 15861

This theorem is referenced by:  strfv3  15908  1strbas  15980  2strbas  15984  2strop  15985  2strbas1  15987  2strop1  15988  rngbase  16001  rngplusg  16002  rngmulr  16003  srngbase  16009  srngplusg  16010  srngmulr  16011  srnginvl  16012  lmodbase  16018  lmodplusg  16019  lmodsca  16020  lmodvsca  16021  ipsbase  16025  ipsaddg  16026  ipsmulr  16027  ipssca  16028  ipsvsca  16029  ipsip  16030  phlbase  16035  phlplusg  16036  phlsca  16037  phlvsca  16038  phlip  16039  topgrpbas  16043  topgrpplusg  16044  topgrptset  16045  otpsbas  16052  otpstset  16053  otpsle  16054  otpsbasOLD  16056  otpstsetOLD  16057  otpsleOLD  16058  odrngbas  16067  odrngplusg  16068  odrngmulr  16069  odrngtset  16070  odrngle  16071  odrngds  16072  imassca  16179  imastset  16182  fuccofval  16619  setcbas  16728  catchomfval  16748  catccofval  16750  estrcbas  16765  ipobas  17155  ipolerval  17156  ipotset  17157  psrbas  19378  psrplusg  19381  psrmulr  19384  psrsca  19389  psrvscafval  19390  cnfldbas  19750  cnfldadd  19751  cnfldmul  19752  cnfldcj  19753  cnfldtset  19754  cnfldle  19755  cnfldds  19756  cnfldunif  19757  trkgbas  25344  trkgdist  25345  trkgitv  25346  algbase  37748  algaddg  37749  algmulr  37750  algsca  37751  algvsca  37752  rngchomfvalALTV  41984  rngccofvalALTV  41987  ringchomfvalALTV  42047  ringccofvalALTV  42050