Theorem iccbnd 33639

Description: A closed interval in RR is bounded. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 22-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccbnd.1	|- J = ( A [,] B )
iccbnd.2	|- M = ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) )

Assertion

Ref	Expression
iccbnd	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Bnd ` J ) )

Proof of Theorem iccbnd

Dummy variables x r y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccbnd.2	. . 3 |- M = ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) )
2		cnmet 22575	. . . 4 |- ( abs o. - ) e. ( Met ` CC )
3		iccbnd.1	. . . . . 6 |- J = ( A [,] B )
4		iccssre 12255	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A [,] B ) C_ RR )
5	3, 4	syl5eqss 3649	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> J C_ RR )
6		ax-resscn 9993	. . . . 5 |- RR C_ CC
7	5, 6	syl6ss 3615	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> J C_ CC )
8		metres2 22168	. . . 4 |- ( ( ( abs o. - ) e. ( Met ` CC ) /\ J C_ CC ) -> ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) e. ( Met ` J ) )
9	2, 7, 8	sylancr 695	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) e. ( Met ` J ) )
10	1, 9	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Met ` J ) )
11		resubcl 10345	. . . 4 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
12	11	ancoms 469	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B - A ) e. RR )
13	1	oveqi 6663	. . . . . . 7 |- ( x M y ) = ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y )
14		ovres 6800	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. J /\ y e. J ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
15	14	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x ( ( abs o. - ) |` ( J X. J ) ) y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
16	13, 15	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) = ( x ( abs o. - ) y ) )
17	7	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ x e. J ) -> x e. CC )
18	7	sselda 3603	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ y e. J ) -> y e. CC )
19	17, 18	anim12dan 882	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. CC /\ y e. CC ) )
20		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( abs o. - ) = ( abs o. - )
21	20	cnmetdval 22574	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
22	19, 21	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x ( abs o. - ) y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
23	16, 22	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) = ( abs ` ( x - y ) ) )
24		simprr 796	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. J )
25	24, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. ( A [,] B ) )
26		elicc2 12238	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y e. ( A [,] B ) <-> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) ) )
28	25, 27	mpbid 222	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y e. RR /\ A <_ y /\ y <_ B ) )
29	28	simp1d 1073	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y e. RR )
30	12	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( B - A ) e. RR )
31		resubcl 10345	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. RR /\ ( B - A ) e. RR ) -> ( y - ( B - A ) ) e. RR )
32	29, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) e. RR )
33		simpll 790	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A e. RR )
34		simprl 794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. J )
35	34, 3	syl6eleq 2711	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. ( A [,] B ) )
36		elicc2 12238	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. ( A [,] B ) <-> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) ) )
38	35, 37	mpbid 222	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x e. RR /\ A <_ x /\ x <_ B ) )
39	38	simp1d 1073	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x e. RR )
40		simplr 792	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> B e. RR )
41	28	simp3d 1075	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> y <_ B )
42	29, 40, 33, 41	lesub1dd 10643	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - A ) <_ ( B - A ) )
43	29, 33, 30, 42	subled 10630	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) <_ A )
44	38	simp2d 1074	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A <_ x )
45	32, 33, 39, 43, 44	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y - ( B - A ) ) <_ x )
46	29, 30	readdcld 10069	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( y + ( B - A ) ) e. RR )
47	38	simp3d 1075	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x <_ B )
48	28	simp2d 1074	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> A <_ y )
49	33, 29, 40, 48	lesub2dd 10644	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( B - y ) <_ ( B - A ) )
50	40, 29, 30	lesubadd2d 10626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( B - y ) <_ ( B - A ) <-> B <_ ( y + ( B - A ) ) ) )
51	49, 50	mpbid 222	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> B <_ ( y + ( B - A ) ) )
52	39, 40, 46, 47, 51	letrd 10194	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> x <_ ( y + ( B - A ) ) )
53	39, 29, 30	absdifled 14173	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( B - A ) <-> ( ( y - ( B - A ) ) <_ x /\ x <_ ( y + ( B - A ) ) ) ) )
54	45, 52, 53	mpbir2and 957	. . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( abs ` ( x - y ) ) <_ ( B - A ) )
55	23, 54	eqbrtrd 4675	. . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( x e. J /\ y e. J ) ) -> ( x M y ) <_ ( B - A ) )
56	55	ralrimivva 2971	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) )
57		breq2 4657	. . . . 5 |- ( r = ( B - A ) -> ( ( x M y ) <_ r <-> ( x M y ) <_ ( B - A ) ) )
58	57	2ralbidv 2989	. . . 4 |- ( r = ( B - A ) -> ( A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r <-> A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) ) )
59	58	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( ( B - A ) e. RR /\ A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ ( B - A ) ) -> E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r )
60	12, 56, 59	syl2anc 693	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r )
61		isbnd3b 33584	. 2 |- ( M e. ( Bnd ` J ) <-> ( M e. ( Met ` J ) /\ E. r e. RR A. x e. J A. y e. J ( x M y ) <_ r ) )
62	10, 60, 61	sylanbrc 698	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> M e. ( Bnd ` J ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   |` cres 5116   o. ccom 5118   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   + caddc 9939   <_ cle 10075   - cmin 10266   [,]cicc 12178   abscabs 13974   Metcme 19732   Bndcbnd 33566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-ec 7744  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-icc 12182  df-seq 12802  df-exp 12861  df-cj 13839  df-re 13840  df-im 13841  df-sqrt 13975  df-abs 13976  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-bnd 33578

This theorem is referenced by:  icccmpALT  33640