MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elicc2 Structured version   Visualization version   Unicode version
Theorem elicc2 12238
Description: Membership in a closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 21-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
elicc2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Proof of Theorem elicc2
StepHypRef Expression
1 rexr 10085 . . 3 |- ( A e. RR -> A e. RR* )
2 rexr 10085 . . 3 |- ( B e. RR -> B e. RR* )
3 elicc1 12219 . . 3 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
41, 2, 3syl2an 494 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
5 mnfxr 10096 . . . . . . . 8 |- -oo e. RR*
65a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo e. RR* )
71ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A e. RR* )
8 simpr1 1067 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR* )
9 mnflt 11957 . . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> -oo < A )
109ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < A )
11 simpr2 1068 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> A <_ C )
126, 7, 8, 10, 11xrltletrd 11992 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> -oo < C )
132ad2antlr 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B e. RR* )
14 pnfxr 10092 . . . . . . . 8 |- +oo e. RR*
1514a1i 11 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> +oo e. RR* )
16 simpr3 1069 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C <_ B )
17 ltpnf 11954 . . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> B < +oo )
1817ad2antlr 763 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> B < +oo )
198, 13, 15, 16, 18xrlelttrd 11991 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C < +oo )
20 xrrebnd 11999 . . . . . . 7 |- ( C e. RR* -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
218, 20syl 17 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR <-> ( -oo < C /\ C < +oo ) ) )
2212, 19, 21mpbir2and 957 . . . . 5 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> C e. RR )
2322, 11, 163jca 1242 . . . 4 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2423ex 450 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
25 rexr 10085 . . . 4 |- ( C e. RR -> C e. RR* )
26253anim1i 1248 . . 3 |- ( ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) -> ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) )
2724, 26impbid1 215 . 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( C e. RR* /\ A <_ C /\ C <_ B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
284, 27bitrd 268 1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( C e. ( A [,] B ) <-> ( C e. RR /\ A <_ C /\ C <_ B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   e. wcel 1990   class class class wbr 4653  (class class class)co 6650   RRcr 9935   +oocpnf 10071   -oocmnf 10072   RR*cxr 10073   < clt 10074   <_ cle 10075   [,]cicc 12178
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-po 5035  df-so 5036  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-icc 12182
This theorem is referenced by:  elicc2i  12239  iccssre  12255  iccsupr  12266  iccneg  12293  iccsplit  12305  iccshftr  12306  iccshftl  12308  iccdil  12310  icccntr  12312  iccf1o  12316  supicc  12320  icco1  14271  iccntr  22624  icccmplem1  22625  icccmplem2  22626  icccmplem3  22627  reconnlem1  22629  reconnlem2  22630  cnmpt2pc  22727  icoopnst  22738  iocopnst  22739  cnheiborlem  22753  ivthlem2  23221  ivthlem3  23222  ivthicc  23227  evthicc2  23229  ovolficc  23237  ovolicc1  23284  ovolicc2lem2  23286  ovolicc2lem5  23289  ovolicopnf  23292  dyadmaxlem  23365  opnmbllem  23369  volsup2  23373  volcn  23374  mbfi1fseqlem6  23487  itgspliticc  23603  itgsplitioo  23604  ditgcl  23622  ditgswap  23623  ditgsplitlem  23624  ditgsplit  23625  dvlip  23756  dvlip2  23758  dveq0  23763  dvgt0lem1  23765  dvivthlem1  23771  dvne0  23774  dvcnvrelem1  23780  dvcnvrelem2  23781  dvcnvre  23782  dvfsumlem2  23790  ftc1lem1  23798  ftc1lem2  23799  ftc1a  23800  ftc1lem4  23802  ftc2  23807  ftc2ditglem  23808  itgsubstlem  23811  pserulm  24176  loglesqrt  24499  log2tlbnd  24672  ppisval  24830  chtleppi  24935  fsumvma2  24939  chpchtsum  24944  chpub  24945  rplogsumlem2  25174  chpdifbndlem1  25242  pntibndlem2a  25279  pntibndlem2  25280  pntlemj  25292  pntlem3  25298  pntleml  25300  resconn  31228  cvmliftlem10  31276  opnmbllem0  33445  ftc2nc  33494  areacirclem2  33501  areacirclem4  33503  areacirc  33505  isbnd3  33583  isbnd3b  33584  prdsbnd  33592  iccbnd  33639  eliccd  39726  eliccre  39728  iccshift  39744  iccsuble  39745  limcicciooub  39869  icccncfext  40100  itgsubsticc  40192  iblcncfioo  40194  itgiccshift  40196  itgperiod  40197  itgsbtaddcnst  40198  fourierdlem42  40366  fourierdlem54  40377  fourierdlem63  40386  fourierdlem65  40388  fourierdlem74  40397  fourierdlem75  40398  fourierdlem82  40405  fourierdlem93  40416  fourierdlem101  40424  fourierdlem104  40427  fourierdlem111  40434
  Copyright terms: Public domain W3C validator