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Theorem isfuncd 16525
Description: Deduce that an operation is a functor of categories. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
isfunc.b |- B = ( Base ` D )
isfunc.c |- C = ( Base ` E )
isfunc.h |- H = ( Hom ` D )
isfunc.j |- J = ( Hom ` E )
isfunc.1 |- .1. = ( Id ` D )
isfunc.i |- I = ( Id ` E )
isfunc.x |- .x. = (comp ` D )
isfunc.o |- O = (comp ` E )
isfunc.d |- ( ph -> D e. Cat )
isfunc.e |- ( ph -> E e. Cat )
isfuncd.1 |- ( ph -> F : B --> C )
isfuncd.2 |- ( ph -> G Fn ( B X. B ) )
isfuncd.3 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) )
isfuncd.4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) )
isfuncd.5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) )
Assertion
Ref Expression
isfuncd |- ( ph -> F ( D Func E ) G )
Distinct variable groups:   m, n, x, y, z, B   D, m, n, x, y, z   m, E, n, x, y, z   m, H, n, x, y, z   m, F, n, x, y, z   m, G, n, x, y, z   x, J, y, z   ph, m, n, x, y, z
Allowed substitution hints:   C( x, y, z, m, n)   .x. ( x, y, z, m, n)   .1. ( x, y, z, m, n)   I( x, y, z, m, n)   J( m, n)   O( x, y, z, m, n)
Proof of Theorem isfuncd
StepHypRef Expression
1 isfuncd.1 . 2 |- ( ph -> F : B --> C )
2 isfuncd.2 . . . 4 |- ( ph -> G Fn ( B X. B ) )
3 isfunc.b . . . . . 6 |- B = ( Base ` D )
4 fvex 6201 . . . . . 6 |- ( Base ` D ) e. _V
53, 4eqeltri 2697 . . . . 5 |- B e. _V
65, 5xpex 6962 . . . 4 |- ( B X. B ) e. _V
7 fnex 6481 . . . 4 |- ( ( G Fn ( B X. B ) /\ ( B X. B ) e. _V ) -> G e. _V )
82, 6, 7sylancl 694 . . 3 |- ( ph -> G e. _V )
9 isfuncd.3 . . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) )
10 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) e. _V
11 ovex 6678 . . . . . . 7 |- ( x H y ) e. _V
1210, 11elmap 7886 . . . . . 6 |- ( ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) <-> ( x G y ) : ( x H y ) --> ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) )
139, 12sylibr 224 . . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) )
1413ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ph -> A. x e. B A. y e. B ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) )
15 fveq2 6191 . . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( G ` z ) = ( G ` <. x , y >. ) )
16 df-ov 6653 . . . . . . 7 |- ( x G y ) = ( G ` <. x , y >. )
1715, 16syl6eqr 2674 . . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( G ` z ) = ( x G y ) )
18 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- x e. _V
19 vex 3203 . . . . . . . . . 10 |- y e. _V
2018, 19op1std 7178 . . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> ( 1st ` z ) = x )
2120fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( F ` ( 1st ` z ) ) = ( F ` x ) )
2218, 19op2ndd 7179 . . . . . . . . 9 |- ( z = <. x , y >. -> ( 2nd ` z ) = y )
2322fveq2d 6195 . . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( F ` ( 2nd ` z ) ) = ( F ` y ) )
2421, 23oveq12d 6668 . . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) )
25 fveq2 6191 . . . . . . . 8 |- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( H ` <. x , y >. ) )
26 df-ov 6653 . . . . . . . 8 |- ( x H y ) = ( H ` <. x , y >. )
2725, 26syl6eqr 2674 . . . . . . 7 |- ( z = <. x , y >. -> ( H ` z ) = ( x H y ) )
2824, 27oveq12d 6668 . . . . . 6 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) )
2917, 28eleq12d 2695 . . . . 5 |- ( z = <. x , y >. -> ( ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) ) )
3029ralxp 5263 . . . 4 |- ( A. z e. ( B X. B ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> A. x e. B A. y e. B ( x G y ) e. ( ( ( F ` x ) J ( F ` y ) ) ^m ( x H y ) ) )
3114, 30sylibr 224 . . 3 |- ( ph -> A. z e. ( B X. B ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) )
32 elixp2 7912 . . 3 |- ( G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) <-> ( G e. _V /\ G Fn ( B X. B ) /\ A. z e. ( B X. B ) ( G ` z ) e. ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) ) )
338, 2, 31, 32syl3anbrc 1246 . 2 |- ( ph -> G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) )
34 isfuncd.4 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) )
35 isfuncd.5 . . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) /\ ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) )
36353expia 1267 . . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. B /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) )
37363exp2 1285 . . . . . . 7 |- ( ph -> ( x e. B -> ( y e. B -> ( z e. B -> ( ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) ) ) )
3837imp43 621 . . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( m e. ( x H y ) /\ n e. ( y H z ) ) -> ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) )
3938ralrimivv 2970 . . . . 5 |- ( ( ( ph /\ x e. B ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) )
4039ralrimivva 2971 . . . 4 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) )
4134, 40jca 554 . . 3 |- ( ( ph /\ x e. B ) -> ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) )
4241ralrimiva 2966 . 2 |- ( ph -> A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) )
43 isfunc.c . . 3 |- C = ( Base ` E )
44 isfunc.h . . 3 |- H = ( Hom ` D )
45 isfunc.j . . 3 |- J = ( Hom ` E )
46 isfunc.1 . . 3 |- .1. = ( Id ` D )
47 isfunc.i . . 3 |- I = ( Id ` E )
48 isfunc.x . . 3 |- .x. = (comp ` D )
49 isfunc.o . . 3 |- O = (comp ` E )
50 isfunc.d . . 3 |- ( ph -> D e. Cat )
51 isfunc.e . . 3 |- ( ph -> E e. Cat )
523, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49, 50, 51isfunc 16524 . 2 |- ( ph -> ( F ( D Func E ) G <-> ( F : B --> C /\ G e. X_ z e. ( B X. B ) ( ( ( F ` ( 1st ` z ) ) J ( F ` ( 2nd ` z ) ) ) ^m ( H ` z ) ) /\ A. x e. B ( ( ( x G x ) ` ( .1. ` x ) ) = ( I ` ( F ` x ) ) /\ A. y e. B A. z e. B A. m e. ( x H y ) A. n e. ( y H z ) ( ( x G z ) ` ( n ( <. x , y >. .x. z ) m ) ) = ( ( ( y G z ) ` n ) ( <. ( F ` x ) , ( F ` y ) >. O ( F ` z ) ) ( ( x G y ) ` m ) ) ) ) ) )
531, 33, 42, 52mpbir3and 1245 1 |- ( ph -> F ( D Func E ) G )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   X. cxp 5112   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   ^m cmap 7857   X_cixp 7908   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Func cfunc 16514
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-map 7859  df-ixp 7909  df-func 16518
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