Theorem catcisolem 16756

Description: Lemma for catciso 16757. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
catciso.c	|- C = (CatCat ` U )
catciso.b	|- B = ( Base ` C )
catciso.r	|- R = ( Base ` X )
catciso.s	|- S = ( Base ` Y )
catciso.u	|- ( ph -> U e. V )
catciso.x	|- ( ph -> X e. B )
catciso.y	|- ( ph -> Y e. B )
catcisolem.i	|- I = (Inv ` C )
catcisolem.g	|- H = ( x e. S , y e. S |-> `' ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) )
catcisolem.1	|- ( ph -> F ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) G )
catcisolem.2	|- ( ph -> F : R -1-1-onto-> S )

Assertion

Ref	Expression
catcisolem	|- ( ph -> <. F , G >. ( X I Y ) <. `' F , H >. )

Distinct variable groups:   x, y, C   x, F, y   x, G, y   ph, x, y   x, I, y   x, R, y   x, S, y   x, X, y   x, Y, y

Allowed substitution hints:   B( x, y)   U( x, y)   H( x, y)   V( x, y)

Proof of Theorem catcisolem

Dummy variables f g u v z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		catcisolem.2	. . . . . . 7 |- ( ph -> F : R -1-1-onto-> S )
2		f1ococnv1 6165	. . . . . . 7 |- ( F : R -1-1-onto-> S -> ( `' F o. F ) = ( _I |` R ) )
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( `' F o. F ) = ( _I |` R ) )
4	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> F : R -1-1-onto-> S )
5		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( F : R -1-1-onto-> S -> F : R --> S )
6	4, 5	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> F : R --> S )
7		simp2 1062	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> u e. R )
8	6, 7	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( F ` u ) e. S )
9		simp3 1063	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> v e. R )
10	6, 9	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( F ` v ) e. S )
11		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( F ` u ) /\ y = ( F ` v ) ) -> x = ( F ` u ) )
12	11	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( F ` u ) /\ y = ( F ` v ) ) -> ( `' F ` x ) = ( `' F ` ( F ` u ) ) )
13		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = ( F ` u ) /\ y = ( F ` v ) ) -> y = ( F ` v ) )
14	13	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = ( F ` u ) /\ y = ( F ` v ) ) -> ( `' F ` y ) = ( `' F ` ( F ` v ) ) )
15	12, 14	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = ( F ` u ) /\ y = ( F ` v ) ) -> ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = ( ( `' F ` ( F ` u ) ) G ( `' F ` ( F ` v ) ) ) )
16	15	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( F ` u ) /\ y = ( F ` v ) ) -> `' ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = `' ( ( `' F ` ( F ` u ) ) G ( `' F ` ( F ` v ) ) ) )
17		catcisolem.g	. . . . . . . . . . . . 13 |- H = ( x e. S , y e. S |-> `' ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) )
18		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( `' F ` ( F ` u ) ) G ( `' F ` ( F ` v ) ) ) e. _V
19	18	cnvex 7113	. . . . . . . . . . . . 13 |- `' ( ( `' F ` ( F ` u ) ) G ( `' F ` ( F ` v ) ) ) e. _V
20	16, 17, 19	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` u ) e. S /\ ( F ` v ) e. S ) -> ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) = `' ( ( `' F ` ( F ` u ) ) G ( `' F ` ( F ` v ) ) ) )
21	8, 10, 20	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) = `' ( ( `' F ` ( F ` u ) ) G ( `' F ` ( F ` v ) ) ) )
22		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : R -1-1-onto-> S /\ u e. R ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
23	4, 7, 22	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( `' F ` ( F ` u ) ) = u )
24		f1ocnvfv1 6532	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : R -1-1-onto-> S /\ v e. R ) -> ( `' F ` ( F ` v ) ) = v )
25	4, 9, 24	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( `' F ` ( F ` v ) ) = v )
26	23, 25	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( ( `' F ` ( F ` u ) ) G ( `' F ` ( F ` v ) ) ) = ( u G v ) )
27	26	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> `' ( ( `' F ` ( F ` u ) ) G ( `' F ` ( F ` v ) ) ) = `' ( u G v ) )
28	21, 27	eqtrd 2656	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) = `' ( u G v ) )
29	28	coeq1d 5283	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) o. ( u G v ) ) = ( `' ( u G v ) o. ( u G v ) ) )
30		catciso.r	. . . . . . . . . . 11 |- R = ( Base ` X )
31		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Hom ` X ) = ( Hom ` X )
32		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( Hom ` Y ) = ( Hom ` Y )
33		catcisolem.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> F ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) G )
34	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> F ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) G )
35	30, 31, 32, 34, 7, 9	ffthf1o 16579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( u G v ) : ( u ( Hom ` X ) v ) -1-1-onto-> ( ( F ` u ) ( Hom ` Y ) ( F ` v ) ) )
36		f1ococnv1 6165	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u G v ) : ( u ( Hom ` X ) v ) -1-1-onto-> ( ( F ` u ) ( Hom ` Y ) ( F ` v ) ) -> ( `' ( u G v ) o. ( u G v ) ) = ( _I |` ( u ( Hom ` X ) v ) ) )
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( `' ( u G v ) o. ( u G v ) ) = ( _I |` ( u ( Hom ` X ) v ) ) )
38	29, 37	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. R /\ v e. R ) -> ( ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) o. ( u G v ) ) = ( _I |` ( u ( Hom ` X ) v ) ) )
39	38	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( u e. R , v e. R |-> ( ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) o. ( u G v ) ) ) = ( u e. R , v e. R |-> ( _I |` ( u ( Hom ` X ) v ) ) ) )
40		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( Hom ` X ) ` z ) = ( ( Hom ` X ) ` <. u , v >. ) )
41		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( u ( Hom ` X ) v ) = ( ( Hom ` X ) ` <. u , v >. )
42	40, 41	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( Hom ` X ) ` z ) = ( u ( Hom ` X ) v ) )
43	42	reseq2d 5396	. . . . . . . 8 |- ( z = <. u , v >. -> ( _I |` ( ( Hom ` X ) ` z ) ) = ( _I |` ( u ( Hom ` X ) v ) ) )
44	43	mpt2mpt 6752	. . . . . . 7 |- ( z e. ( R X. R ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` X ) ` z ) ) ) = ( u e. R , v e. R |-> ( _I |` ( u ( Hom ` X ) v ) ) )
45	39, 44	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. R , v e. R |-> ( ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) o. ( u G v ) ) ) = ( z e. ( R X. R ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` X ) ` z ) ) ) )
46	3, 45	opeq12d 4410	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( `' F o. F ) , ( u e. R , v e. R |-> ( ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) o. ( u G v ) ) ) >. = <. ( _I |` R ) , ( z e. ( R X. R ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` X ) ` z ) ) ) >. )
47		inss1 3833	. . . . . . . . 9 |- ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) C_ ( X Full Y )
48		fullfunc 16566	. . . . . . . . 9 |- ( X Full Y ) C_ ( X Func Y )
49	47, 48	sstri 3612	. . . . . . . 8 |- ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) C_ ( X Func Y )
50	49	ssbri 4697	. . . . . . 7 |- ( F ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) G -> F ( X Func Y ) G )
51	33, 50	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> F ( X Func Y ) G )
52		catciso.s	. . . . . . 7 |- S = ( Base ` Y )
53		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Id ` Y ) = ( Id ` Y )
54		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Id ` X ) = ( Id ` X )
55		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (comp ` Y ) = (comp ` Y )
56		eqid 2622	. . . . . . 7 |- (comp ` X ) = (comp ` X )
57		catciso.c	. . . . . . . . . 10 |- C = (CatCat ` U )
58		catciso.b	. . . . . . . . . 10 |- B = ( Base ` C )
59		catciso.u	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> U e. V )
60	57, 58, 59	catcbas 16747	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> B = ( U i^i Cat ) )
61		inss2 3834	. . . . . . . . 9 |- ( U i^i Cat ) C_ Cat
62	60, 61	syl6eqss 3655	. . . . . . . 8 |- ( ph -> B C_ Cat )
63		catciso.y	. . . . . . . 8 |- ( ph -> Y e. B )
64	62, 63	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> Y e. Cat )
65		catciso.x	. . . . . . . 8 |- ( ph -> X e. B )
66	62, 65	sseldd 3604	. . . . . . 7 |- ( ph -> X e. Cat )
67		f1ocnv 6149	. . . . . . . 8 |- ( F : R -1-1-onto-> S -> `' F : S -1-1-onto-> R )
68		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( `' F : S -1-1-onto-> R -> `' F : S --> R )
69	1, 67, 68	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ph -> `' F : S --> R )
70		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) e. _V
71	70	cnvex 7113	. . . . . . . . 9 |- `' ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) e. _V
72	17, 71	fnmpt2i 7239	. . . . . . . 8 |- H Fn ( S X. S )
73	72	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ph -> H Fn ( S X. S ) )
74	33	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> F ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) G )
75	69	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( `' F ` u ) e. R )
76	75	adantrr 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( `' F ` u ) e. R )
77	69	ffvelrnda 6359	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ v e. S ) -> ( `' F ` v ) e. R )
78	77	adantrl 752	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( `' F ` v ) e. R )
79	30, 31, 32, 74, 76, 78	ffthf1o 16579	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) )
80		f1ocnv 6149	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) -> `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) )
81		f1of 6137	. . . . . . . . 9 |- ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) -1-1-onto-> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -> `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) --> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) )
82	79, 80, 81	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) --> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) )
83		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> x = u )
84	83	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( `' F ` x ) = ( `' F ` u ) )
85		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> y = v )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( `' F ` y ) = ( `' F ` v ) )
87	84, 86	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) )
88	87	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = v ) -> `' ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) )
89		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) e. _V
90	89	cnvex 7113	. . . . . . . . . . 11 |- `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) e. _V
91	88, 17, 90	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. S /\ v e. S ) -> ( u H v ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) )
92	91	adantl 482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u H v ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) )
93	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> F : R -1-1-onto-> S )
94		simprl 794	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> u e. S )
95		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : R -1-1-onto-> S /\ u e. S ) -> ( F ` ( `' F ` u ) ) = u )
96	93, 94, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( F ` ( `' F ` u ) ) = u )
97		simprr 796	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> v e. S )
98		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( F : R -1-1-onto-> S /\ v e. S ) -> ( F ` ( `' F ` v ) ) = v )
99	93, 97, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( F ` ( `' F ` v ) ) = v )
100	96, 99	oveq12d 6668	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) = ( u ( Hom ` Y ) v ) )
101	100	eqcomd 2628	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u ( Hom ` Y ) v ) = ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) )
102	92, 101	feq12d 6033	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( ( u H v ) : ( u ( Hom ` Y ) v ) --> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) <-> `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) --> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) ) )
103	82, 102	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S ) ) -> ( u H v ) : ( u ( Hom ` Y ) v ) --> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) )
104		simpr 477	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> u e. S )
105		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = u ) -> x = u )
106	105	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = u ) -> ( `' F ` x ) = ( `' F ` u ) )
107		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = u ) -> y = u )
108	107	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = u ) -> ( `' F ` y ) = ( `' F ` u ) )
109	106, 108	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ y = u ) -> ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) )
110	109	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = u ) -> `' ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) )
111		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) e. _V
112	111	cnvex 7113	. . . . . . . . . . 11 |- `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) e. _V
113	110, 17, 112	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. S /\ u e. S ) -> ( u H u ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) )
114	104, 104, 113	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( u H u ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) )
115	114	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( ( u H u ) ` ( ( Id ` Y ) ` u ) ) = ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) ` ( ( Id ` Y ) ` u ) ) )
116	51	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> F ( X Func Y ) G )
117	30, 54, 53, 116, 75	funcid 16530	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) ` ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) ) = ( ( Id ` Y ) ` ( F ` ( `' F ` u ) ) ) )
118	1, 95	sylan 488	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( F ` ( `' F ` u ) ) = u )
119	118	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( ( Id ` Y ) ` ( F ` ( `' F ` u ) ) ) = ( ( Id ` Y ) ` u ) )
120	117, 119	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) ` ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) ) = ( ( Id ` Y ) ` u ) )
121	33	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> F ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) G )
122	30, 31, 32, 121, 75, 75	ffthf1o 16579	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` u ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` u ) ) ) )
123	66	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> X e. Cat )
124	30, 31, 54, 123, 75	catidcl 16343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) e. ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` u ) ) )
125		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` u ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` u ) ) ) /\ ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) e. ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` u ) ) ) -> ( ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) ` ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) ) = ( ( Id ` Y ) ` u ) -> ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) ` ( ( Id ` Y ) ` u ) ) = ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) ) )
126	122, 124, 125	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) ` ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) ) = ( ( Id ` Y ) ` u ) -> ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) ` ( ( Id ` Y ) ` u ) ) = ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) ) )
127	120, 126	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` u ) ) ` ( ( Id ` Y ) ` u ) ) = ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) )
128	115, 127	eqtrd 2656	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. S ) -> ( ( u H u ) ` ( ( Id ` Y ) ` u ) ) = ( ( Id ` X ) ` ( `' F ` u ) ) )
129	51	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> F ( X Func Y ) G )
130	69	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> `' F : S --> R )
131		simp21 1094	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> u e. S )
132	130, 131	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( `' F ` u ) e. R )
133		simp22 1095	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> v e. S )
134	130, 133	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( `' F ` v ) e. R )
135		simp23 1096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> z e. S )
136	130, 135	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( `' F ` z ) e. R )
137	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> F ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) G )
138	30, 31, 32, 137, 132, 134	ffthf1o 16579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) )
139	1	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> F : R -1-1-onto-> S )
140	139, 131, 95	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` u ) ) = u )
141	139, 133, 98	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` v ) ) = v )
142	140, 141	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) = ( u ( Hom ` Y ) v ) )
143		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) = ( u ( Hom ` Y ) v ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) <-> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) v ) ) )
144	142, 143	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) <-> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) v ) ) )
145	138, 144	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) v ) )
146		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) v ) -> `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( u ( Hom ` Y ) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) )
147		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( u ( Hom ` Y ) v ) -1-1-onto-> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -> `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( u ( Hom ` Y ) v ) --> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) )
148	145, 146, 147	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( u ( Hom ` Y ) v ) --> ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) )
149		simp3l 1089	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) )
150	148, 149	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) e. ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) )
151	30, 31, 32, 137, 134, 136	ffthf1o 16579	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` v ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) )
152		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : R -1-1-onto-> S /\ z e. S ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
153	139, 135, 152	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( F ` ( `' F ` z ) ) = z )
154	141, 153	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` v ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) = ( v ( Hom ` Y ) z ) )
155		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( F ` ( `' F ` v ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) = ( v ( Hom ` Y ) z ) -> ( ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` v ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) <-> ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom ` Y ) z ) ) )
156	154, 155	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` v ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) <-> ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom ` Y ) z ) ) )
157	151, 156	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom ` Y ) z ) )
158		f1ocnv 6149	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom ` Y ) z ) -> `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( v ( Hom ` Y ) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) )
159		f1of 6137	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( v ( Hom ` Y ) z ) -1-1-onto-> ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -> `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( v ( Hom ` Y ) z ) --> ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) )
160	157, 158, 159	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( v ( Hom ` Y ) z ) --> ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) )
161		simp3r 1090	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) )
162	160, 161	ffvelrnd 6360	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) e. ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) )
163	30, 31, 56, 55, 129, 132, 134, 136, 150, 162	funcco 16531	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) ` ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) ) = ( ( ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ) ( <. ( F ` ( `' F ` u ) ) , ( F ` ( `' F ` v ) ) >. (comp ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) ) )
164	140, 141	opeq12d 4410	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> <. ( F ` ( `' F ` u ) ) , ( F ` ( `' F ` v ) ) >. = <. u , v >. )
165	164, 153	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( <. ( F ` ( `' F ` u ) ) , ( F ` ( `' F ` v ) ) >. (comp ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) = ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) )
166		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` v ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( v ( Hom ` Y ) z ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) -> ( ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ) = g )
167	157, 161, 166	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ) = g )
168		f1ocnvfv2 6533	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) = f )
169	145, 149, 168	syl2anc 693	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) = f )
170	165, 167, 169	oveq123d 6671	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ) ( <. ( F ` ( `' F ` u ) ) , ( F ` ( `' F ` v ) ) >. (comp ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) ) = ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) )
171	163, 170	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) ` ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) ) = ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) )
172	30, 31, 32, 137, 132, 136	ffthf1o 16579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) )
173	140, 153	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) = ( u ( Hom ` Y ) z ) )
174		f1oeq3 6129	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) = ( u ( Hom ` Y ) z ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) <-> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) z ) ) )
175	173, 174	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` z ) ) ) <-> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) z ) ) )
176	172, 175	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) z ) )
177	66	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> X e. Cat )
178	30, 31, 56, 177, 132, 134, 136, 150, 162	catcocl 16346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) e. ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) )
179		f1ocnvfv 6534	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) z ) /\ ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) e. ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` z ) ) ) -> ( ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) ` ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) ) = ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) -> ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) ` ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) ) = ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) ) )
180	176, 178, 179	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) ` ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) ) = ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) -> ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) ` ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) ) = ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) ) )
181	171, 180	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) ` ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) ) = ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) )
182		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = z ) -> x = u )
183	182	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = z ) -> ( `' F ` x ) = ( `' F ` u ) )
184		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = u /\ y = z ) -> y = z )
185	184	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = u /\ y = z ) -> ( `' F ` y ) = ( `' F ` z ) )
186	183, 185	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = u /\ y = z ) -> ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) )
187	186	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = u /\ y = z ) -> `' ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) )
188		ovex 6678	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) e. _V
189	188	cnvex 7113	. . . . . . . . . . 11 |- `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) e. _V
190	187, 17, 189	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( u e. S /\ z e. S ) -> ( u H z ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) )
191	131, 135, 190	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( u H z ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) )
192	191	fveq1d 6193	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( u H z ) ` ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) ) = ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` z ) ) ` ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) ) )
193		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> x = v )
194	193	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> ( `' F ` x ) = ( `' F ` v ) )
195		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> y = z )
196	195	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> ( `' F ` y ) = ( `' F ` z ) )
197	194, 196	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) )
198	197	cnveqd 5298	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = v /\ y = z ) -> `' ( ( `' F ` x ) G ( `' F ` y ) ) = `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) )
199		ovex 6678	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) e. _V
200	199	cnvex 7113	. . . . . . . . . . . 12 |- `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) e. _V
201	198, 17, 200	ovmpt2a 6791	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( v e. S /\ z e. S ) -> ( v H z ) = `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) )
202	133, 135, 201	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( v H z ) = `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) )
203	202	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( v H z ) ` g ) = ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) )
204	131, 133, 91	syl2anc 693	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( u H v ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) )
205	204	fveq1d 6193	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( u H v ) ` f ) = ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) )
206	203, 205	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( ( v H z ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( ( u H v ) ` f ) ) = ( ( `' ( ( `' F ` v ) G ( `' F ` z ) ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ` f ) ) )
207	181, 192, 206	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. S /\ v e. S /\ z e. S ) /\ ( f e. ( u ( Hom ` Y ) v ) /\ g e. ( v ( Hom ` Y ) z ) ) ) -> ( ( u H z ) ` ( g ( <. u , v >. (comp ` Y ) z ) f ) ) = ( ( ( v H z ) ` g ) ( <. ( `' F ` u ) , ( `' F ` v ) >. (comp ` X ) ( `' F ` z ) ) ( ( u H v ) ` f ) ) )
208	52, 30, 32, 31, 53, 54, 55, 56, 64, 66, 69, 73, 103, 128, 207	isfuncd 16525	. . . . . 6 |- ( ph -> `' F ( Y Func X ) H )
209	30, 51, 208	cofuval2 16547	. . . . 5 |- ( ph -> ( <. `' F , H >. o.func <. F , G >. ) = <. ( `' F o. F ) , ( u e. R , v e. R |-> ( ( ( F ` u ) H ( F ` v ) ) o. ( u G v ) ) ) >. )
210		eqid 2622	. . . . . 6 |- (idfunc ` X ) = (idfunc ` X )
211	210, 30, 66, 31	idfuval 16536	. . . . 5 |- ( ph -> (idfunc ` X ) = <. ( _I |` R ) , ( z e. ( R X. R ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` X ) ` z ) ) ) >. )
212	46, 209, 211	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> ( <. `' F , H >. o.func <. F , G >. ) = (idfunc ` X ) )
213		eqid 2622	. . . . 5 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
214		df-br 4654	. . . . . 6 |- ( F ( X Func Y ) G <-> <. F , G >. e. ( X Func Y ) )
215	51, 214	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> <. F , G >. e. ( X Func Y ) )
216		df-br 4654	. . . . . 6 |- ( `' F ( Y Func X ) H <-> <. `' F , H >. e. ( Y Func X ) )
217	208, 216	sylib 208	. . . . 5 |- ( ph -> <. `' F , H >. e. ( Y Func X ) )
218	57, 58, 59, 213, 65, 63, 65, 215, 217	catcco 16751	. . . 4 |- ( ph -> ( <. `' F , H >. ( <. X , Y >. (comp ` C ) X ) <. F , G >. ) = ( <. `' F , H >. o.func <. F , G >. ) )
219		eqid 2622	. . . . 5 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
220	57, 58, 219, 210, 59, 65	catcid 16753	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Id ` C ) ` X ) = (idfunc ` X ) )
221	212, 218, 220	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> ( <. `' F , H >. ( <. X , Y >. (comp ` C ) X ) <. F , G >. ) = ( ( Id ` C ) ` X ) )
222		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
223		eqid 2622	. . . 4 |- (Sect ` C ) = (Sect ` C )
224	57	catccat 16754	. . . . 5 |- ( U e. V -> C e. Cat )
225	59, 224	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> C e. Cat )
226	57, 58, 59, 222, 65, 63	catchom 16749	. . . . 5 |- ( ph -> ( X ( Hom ` C ) Y ) = ( X Func Y ) )
227	215, 226	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> <. F , G >. e. ( X ( Hom ` C ) Y ) )
228	57, 58, 59, 222, 63, 65	catchom 16749	. . . . 5 |- ( ph -> ( Y ( Hom ` C ) X ) = ( Y Func X ) )
229	217, 228	eleqtrrd 2704	. . . 4 |- ( ph -> <. `' F , H >. e. ( Y ( Hom ` C ) X ) )
230	58, 222, 213, 219, 223, 225, 65, 63, 227, 229	issect2 16414	. . 3 |- ( ph -> ( <. F , G >. ( X (Sect ` C ) Y ) <. `' F , H >. <-> ( <. `' F , H >. ( <. X , Y >. (comp ` C ) X ) <. F , G >. ) = ( ( Id ` C ) ` X ) ) )
231	221, 230	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> <. F , G >. ( X (Sect ` C ) Y ) <. `' F , H >. )
232		f1ococnv2 6163	. . . . . . 7 |- ( F : R -1-1-onto-> S -> ( F o. `' F ) = ( _I |` S ) )
233	1, 232	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( F o. `' F ) = ( _I |` S ) )
234	91	3adant1 1079	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( u H v ) = `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) )
235	234	coeq2d 5284	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. ( u H v ) ) = ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ) )
236	33	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> F ( ( X Full Y ) i^i ( X Faith Y ) ) G )
237	75	3adant3 1081	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( `' F ` u ) e. R )
238	77	3adant2 1080	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( `' F ` v ) e. R )
239	30, 31, 32, 236, 237, 238	ffthf1o 16579	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) )
240	100	3impb 1260	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) = ( u ( Hom ` Y ) v ) )
241	240, 143	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( ( F ` ( `' F ` u ) ) ( Hom ` Y ) ( F ` ( `' F ` v ) ) ) <-> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) v ) ) )
242	239, 241	mpbid 222	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) v ) )
243		f1ococnv2 6163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) : ( ( `' F ` u ) ( Hom ` X ) ( `' F ` v ) ) -1-1-onto-> ( u ( Hom ` Y ) v ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ) = ( _I |` ( u ( Hom ` Y ) v ) ) )
244	242, 243	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. `' ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) ) = ( _I |` ( u ( Hom ` Y ) v ) ) )
245	235, 244	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ u e. S /\ v e. S ) -> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. ( u H v ) ) = ( _I |` ( u ( Hom ` Y ) v ) ) )
246	245	mpt2eq3dva 6719	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( u e. S , v e. S |-> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. ( u H v ) ) ) = ( u e. S , v e. S |-> ( _I |` ( u ( Hom ` Y ) v ) ) ) )
247		fveq2 6191	. . . . . . . . . 10 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( Hom ` Y ) ` z ) = ( ( Hom ` Y ) ` <. u , v >. ) )
248		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( u ( Hom ` Y ) v ) = ( ( Hom ` Y ) ` <. u , v >. )
249	247, 248	syl6eqr 2674	. . . . . . . . 9 |- ( z = <. u , v >. -> ( ( Hom ` Y ) ` z ) = ( u ( Hom ` Y ) v ) )
250	249	reseq2d 5396	. . . . . . . 8 |- ( z = <. u , v >. -> ( _I |` ( ( Hom ` Y ) ` z ) ) = ( _I |` ( u ( Hom ` Y ) v ) ) )
251	250	mpt2mpt 6752	. . . . . . 7 |- ( z e. ( S X. S ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` Y ) ` z ) ) ) = ( u e. S , v e. S |-> ( _I |` ( u ( Hom ` Y ) v ) ) )
252	246, 251	syl6eqr 2674	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. S , v e. S |-> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. ( u H v ) ) ) = ( z e. ( S X. S ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` Y ) ` z ) ) ) )
253	233, 252	opeq12d 4410	. . . . 5 |- ( ph -> <. ( F o. `' F ) , ( u e. S , v e. S |-> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. ( u H v ) ) ) >. = <. ( _I |` S ) , ( z e. ( S X. S ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` Y ) ` z ) ) ) >. )
254	52, 208, 51	cofuval2 16547	. . . . 5 |- ( ph -> ( <. F , G >. o.func <. `' F , H >. ) = <. ( F o. `' F ) , ( u e. S , v e. S |-> ( ( ( `' F ` u ) G ( `' F ` v ) ) o. ( u H v ) ) ) >. )
255		eqid 2622	. . . . . 6 |- (idfunc ` Y ) = (idfunc ` Y )
256	255, 52, 64, 32	idfuval 16536	. . . . 5 |- ( ph -> (idfunc ` Y ) = <. ( _I |` S ) , ( z e. ( S X. S ) |-> ( _I |` ( ( Hom ` Y ) ` z ) ) ) >. )
257	253, 254, 256	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ph -> ( <. F , G >. o.func <. `' F , H >. ) = (idfunc ` Y ) )
258	57, 58, 59, 213, 63, 65, 63, 217, 215	catcco 16751	. . . 4 |- ( ph -> ( <. F , G >. ( <. Y , X >. (comp ` C ) Y ) <. `' F , H >. ) = ( <. F , G >. o.func <. `' F , H >. ) )
259	57, 58, 219, 255, 59, 63	catcid 16753	. . . 4 |- ( ph -> ( ( Id ` C ) ` Y ) = (idfunc ` Y ) )
260	257, 258, 259	3eqtr4d 2666	. . 3 |- ( ph -> ( <. F , G >. ( <. Y , X >. (comp ` C ) Y ) <. `' F , H >. ) = ( ( Id ` C ) ` Y ) )
261	58, 222, 213, 219, 223, 225, 63, 65, 229, 227	issect2 16414	. . 3 |- ( ph -> ( <. `' F , H >. ( Y (Sect ` C ) X ) <. F , G >. <-> ( <. F , G >. ( <. Y , X >. (comp ` C ) Y ) <. `' F , H >. ) = ( ( Id ` C ) ` Y ) ) )
262	260, 261	mpbird 247	. 2 |- ( ph -> <. `' F , H >. ( Y (Sect ` C ) X ) <. F , G >. )
263		catcisolem.i	. . 3 |- I = (Inv ` C )
264	58, 263, 225, 65, 63, 223	isinv 16420	. 2 |- ( ph -> ( <. F , G >. ( X I Y ) <. `' F , H >. <-> ( <. F , G >. ( X (Sect ` C ) Y ) <. `' F , H >. /\ <. `' F , H >. ( Y (Sect ` C ) X ) <. F , G >. ) ) )
265	231, 262, 264	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> <. F , G >. ( X I Y ) <. `' F , H >. )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   i^i cin 3573   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   X. cxp 5112   `'ccnv 5113   |` cres 5116   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326  Sectcsect 16404  Invcinv 16405   Func cfunc 16514  id_funccidfu 16515   o._func ccofu 16516   Full cful 16562   Faith cfth 16563  CatCatccatc 16744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-sect 16407  df-inv 16408  df-func 16518  df-idfu 16519  df-cofu 16520  df-full 16564  df-fth 16565  df-catc 16745

This theorem is referenced by:  catciso  16757