Theorem curfcl 16872

Description: The curry functor of a functor F : C X. D --> E is a functor curry_F ( F ) : C --> ( D --> E ). (Contributed by Mario Carneiro, 13-Jan-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
curfcl.g	|- G = ( <. C , D >. curryF F )
curfcl.q	|- Q = ( D FuncCat E )
curfcl.c	|- ( ph -> C e. Cat )
curfcl.d	|- ( ph -> D e. Cat )
curfcl.f	|- ( ph -> F e. ( ( C X.c D ) Func E ) )

Assertion

Ref	Expression
curfcl	|- ( ph -> G e. ( C Func Q ) )

Proof of Theorem curfcl

Dummy variables w g x y z f are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		curfcl.g	. . . 4 |- G = ( <. C , D >. curryF F )
2		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` C ) = ( Base ` C )
3		curfcl.c	. . . 4 |- ( ph -> C e. Cat )
4		curfcl.d	. . . 4 |- ( ph -> D e. Cat )
5		curfcl.f	. . . 4 |- ( ph -> F e. ( ( C X.c D ) Func E ) )
6		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` D ) = ( Base ` D )
7		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` D ) = ( Hom ` D )
8		eqid 2622	. . . 4 |- ( Id ` C ) = ( Id ` C )
9		eqid 2622	. . . 4 |- ( Hom ` C ) = ( Hom ` C )
10		eqid 2622	. . . 4 |- ( Id ` D ) = ( Id ` D )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	curfval 16863	. . 3 |- ( ph -> G = <. ( x e. ( Base ` C ) |-> <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. ) , ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) >. )
12		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` C ) e. _V
13	12	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( x e. ( Base ` C ) |-> <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. ) e. _V
14	12, 12	mpt2ex 7247	. . . . . 6 |- ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) e. _V
15	13, 14	op1std 7178	. . . . 5 |- ( G = <. ( x e. ( Base ` C ) |-> <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. ) , ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) >. -> ( 1st ` G ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. ) )
16	11, 15	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( 1st ` G ) = ( x e. ( Base ` C ) |-> <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. ) )
17	13, 14	op2ndd 7179	. . . . 5 |- ( G = <. ( x e. ( Base ` C ) |-> <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. ) , ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) >. -> ( 2nd ` G ) = ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) )
18	11, 17	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( 2nd ` G ) = ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) )
19	16, 18	opeq12d 4410	. . 3 |- ( ph -> <. ( 1st ` G ) , ( 2nd ` G ) >. = <. ( x e. ( Base ` C ) |-> <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. ) , ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) >. )
20	11, 19	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> G = <. ( 1st ` G ) , ( 2nd ` G ) >. )
21		curfcl.q	. . . . 5 |- Q = ( D FuncCat E )
22	21	fucbas 16620	. . . 4 |- ( D Func E ) = ( Base ` Q )
23		eqid 2622	. . . . 5 |- ( D Nat E ) = ( D Nat E )
24	21, 23	fuchom 16621	. . . 4 |- ( D Nat E ) = ( Hom ` Q )
25		eqid 2622	. . . 4 |- ( Id ` Q ) = ( Id ` Q )
26		eqid 2622	. . . 4 |- (comp ` C ) = (comp ` C )
27		eqid 2622	. . . 4 |- (comp ` Q ) = (comp ` Q )
28		funcrcl 16523	. . . . . . 7 |- ( F e. ( ( C X.c D ) Func E ) -> ( ( C X.c D ) e. Cat /\ E e. Cat ) )
29	5, 28	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( C X.c D ) e. Cat /\ E e. Cat ) )
30	29	simprd 479	. . . . 5 |- ( ph -> E e. Cat )
31	21, 4, 30	fuccat 16630	. . . 4 |- ( ph -> Q e. Cat )
32		opex 4932	. . . . . 6 |- <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. e. _V
33	32	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> <. ( y e. ( Base ` D ) |-> ( x ( 1st ` F ) y ) ) , ( y e. ( Base ` D ) , z e. ( Base ` D ) |-> ( g e. ( y ( Hom ` D ) z ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , z >. ) g ) ) ) >. e. _V )
34	3	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> C e. Cat )
35	4	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> D e. Cat )
36	5	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> F e. ( ( C X.c D ) Func E ) )
37		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
38		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( 1st ` G ) ` x ) = ( ( 1st ` G ) ` x )
39	1, 2, 34, 35, 36, 6, 37, 38	curf1cl 16868	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( 1st ` G ) ` x ) e. ( D Func E ) )
40	33, 16, 39	fmpt2d 6393	. . . 4 |- ( ph -> ( 1st ` G ) : ( Base ` C ) --> ( D Func E ) )
41		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) = ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) )
42		ovex 6678	. . . . . . 7 |- ( x ( Hom ` C ) y ) e. _V
43	42	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) e. _V
44	41, 43	fnmpt2i 7239	. . . . 5 |- ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) )
45	18	fneq1d 5981	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( 2nd ` G ) Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) <-> ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) ) )
46	44, 45	mpbiri 248	. . . 4 |- ( ph -> ( 2nd ` G ) Fn ( ( Base ` C ) X. ( Base ` C ) ) )
47		fvex 6201	. . . . . . 7 |- ( Base ` D ) e. _V
48	47	mptex 6486	. . . . . 6 |- ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) e. _V
49	48	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) e. _V )
50	18	oveqd 6667	. . . . . 6 |- ( ph -> ( x ( 2nd ` G ) y ) = ( x ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) y ) )
51	41	ovmpt4g 6783	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) e. _V ) -> ( x ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) y ) = ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) )
52	43, 51	mp3an3 1413	. . . . . 6 |- ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) -> ( x ( x e. ( Base ` C ) , y e. ( Base ` C ) |-> ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) ) y ) = ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) )
53	50, 52	sylan9eq 2676	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( x ( 2nd ` G ) y ) = ( g e. ( x ( Hom ` C ) y ) |-> ( z e. ( Base ` D ) |-> ( g ( <. x , z >. ( 2nd ` F ) <. y , z >. ) ( ( Id ` D ) ` z ) ) ) ) )
54	3	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> C e. Cat )
55	4	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> D e. Cat )
56	5	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> F e. ( ( C X.c D ) Func E ) )
57		simplrl 800	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
58		simplrr 801	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
59		simpr 477	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> g e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
60		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` g ) = ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` g )
61	1, 2, 54, 55, 56, 6, 9, 10, 57, 58, 59, 60, 23	curf2cl 16871	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) /\ g e. ( x ( Hom ` C ) y ) ) -> ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` g ) e. ( ( ( 1st ` G ) ` x ) ( D Nat E ) ( ( 1st ` G ) ` y ) ) )
62	49, 53, 61	fmpt2d 6393	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) ) ) -> ( x ( 2nd ` G ) y ) : ( x ( Hom ` C ) y ) --> ( ( ( 1st ` G ) ` x ) ( D Nat E ) ( ( 1st ` G ) ` y ) ) )
63		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( C X.c D ) = ( C X.c D )
64	63, 2, 6	xpcbas 16818	. . . . . . . . 9 |- ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) = ( Base ` ( C X.c D ) )
65		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Id ` ( C X.c D ) ) = ( Id ` ( C X.c D ) )
66		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Id ` E ) = ( Id ` E )
67		relfunc 16522	. . . . . . . . . . 11 |- Rel ( ( C X.c D ) Func E )
68		1st2ndbr 7217	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Rel ( ( C X.c D ) Func E ) /\ F e. ( ( C X.c D ) Func E ) ) -> ( 1st ` F ) ( ( C X.c D ) Func E ) ( 2nd ` F ) )
69	67, 5, 68	sylancr 695	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( 1st ` F ) ( ( C X.c D ) Func E ) ( 2nd ` F ) )
70	69	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( 1st ` F ) ( ( C X.c D ) Func E ) ( 2nd ` F ) )
71		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> <. x , y >. e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) )
72	71	adantll 750	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> <. x , y >. e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) )
73	64, 65, 66, 70, 72	funcid 16530	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ` ( ( Id ` ( C X.c D ) ) ` <. x , y >. ) ) = ( ( Id ` E ) ` ( ( 1st ` F ) ` <. x , y >. ) ) )
74	3	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> C e. Cat )
75	4	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> D e. Cat )
76	37	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
77		simpr 477	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> y e. ( Base ` D ) )
78	63, 74, 75, 2, 6, 8, 10, 65, 76, 77	xpcid 16829	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( ( Id ` ( C X.c D ) ) ` <. x , y >. ) = <. ( ( Id ` C ) ` x ) , ( ( Id ` D ) ` y ) >. )
79	78	fveq2d 6195	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ` ( ( Id ` ( C X.c D ) ) ` <. x , y >. ) ) = ( ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ` <. ( ( Id ` C ) ` x ) , ( ( Id ` D ) ` y ) >. ) )
80		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ( ( Id ` D ) ` y ) ) = ( ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ` <. ( ( Id ` C ) ` x ) , ( ( Id ` D ) ` y ) >. )
81	79, 80	syl6eqr 2674	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ` ( ( Id ` ( C X.c D ) ) ` <. x , y >. ) ) = ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ( ( Id ` D ) ` y ) ) )
82	5	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> F e. ( ( C X.c D ) Func E ) )
83	1, 2, 74, 75, 82, 6, 76, 38, 77	curf11 16866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` y ) = ( x ( 1st ` F ) y ) )
84		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( x ( 1st ` F ) y ) = ( ( 1st ` F ) ` <. x , y >. )
85	83, 84	syl6req 2673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1st ` F ) ` <. x , y >. ) = ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` y ) )
86	85	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( ( Id ` E ) ` ( ( 1st ` F ) ` <. x , y >. ) ) = ( ( Id ` E ) ` ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` y ) ) )
87	73, 81, 86	3eqtr3d 2664	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) /\ y e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ( ( Id ` D ) ` y ) ) = ( ( Id ` E ) ` ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` y ) ) )
88	87	mpteq2dva 4744	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. ( Base ` D ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ( ( Id ` D ) ` y ) ) ) = ( y e. ( Base ` D ) |-> ( ( Id ` E ) ` ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` y ) ) ) )
89	30	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> E e. Cat )
90		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( Base ` E ) = ( Base ` E )
91	90, 66	cidfn 16340	. . . . . . . . 9 |- ( E e. Cat -> ( Id ` E ) Fn ( Base ` E ) )
92	89, 91	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( Id ` E ) Fn ( Base ` E ) )
93		dffn2 6047	. . . . . . . 8 |- ( ( Id ` E ) Fn ( Base ` E ) <-> ( Id ` E ) : ( Base ` E ) --> _V )
94	92, 93	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( Id ` E ) : ( Base ` E ) --> _V )
95		relfunc 16522	. . . . . . . . 9 |- Rel ( D Func E )
96		1st2ndbr 7217	. . . . . . . . 9 |- ( ( Rel ( D Func E ) /\ ( ( 1st ` G ) ` x ) e. ( D Func E ) ) -> ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ( D Func E ) ( 2nd ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) )
97	95, 39, 96	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ( D Func E ) ( 2nd ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) )
98	6, 90, 97	funcf1 16526	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) : ( Base ` D ) --> ( Base ` E ) )
99		fcompt 6400	. . . . . . 7 |- ( ( ( Id ` E ) : ( Base ` E ) --> _V /\ ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) : ( Base ` D ) --> ( Base ` E ) ) -> ( ( Id ` E ) o. ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ) = ( y e. ( Base ` D ) |-> ( ( Id ` E ) ` ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` y ) ) ) )
100	94, 98, 99	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` E ) o. ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ) = ( y e. ( Base ` D ) |-> ( ( Id ` E ) ` ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` y ) ) ) )
101	88, 100	eqtr4d 2659	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( y e. ( Base ` D ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ( ( Id ` D ) ` y ) ) ) = ( ( Id ` E ) o. ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ) )
102	2, 9, 8, 34, 37	catidcl 16343	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` C ) ` x ) e. ( x ( Hom ` C ) x ) )
103		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( x ( 2nd ` G ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( x ( 2nd ` G ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) )
104	1, 2, 34, 35, 36, 6, 9, 10, 37, 37, 102, 103	curf2 16869	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x ( 2nd ` G ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( y e. ( Base ` D ) |-> ( ( ( Id ` C ) ` x ) ( <. x , y >. ( 2nd ` F ) <. x , y >. ) ( ( Id ` D ) ` y ) ) ) )
105	21, 25, 66, 39	fucid 16631	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( Id ` Q ) ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) = ( ( Id ` E ) o. ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ) )
106	101, 104, 105	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. ( Base ` C ) ) -> ( ( x ( 2nd ` G ) x ) ` ( ( Id ` C ) ` x ) ) = ( ( Id ` Q ) ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) )
107	3	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> C e. Cat )
108	107	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> C e. Cat )
109	4	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> D e. Cat )
110	109	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> D e. Cat )
111	5	3ad2ant1 1082	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> F e. ( ( C X.c D ) Func E ) )
112	111	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> F e. ( ( C X.c D ) Func E ) )
113		simp21 1094	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
114	113	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> x e. ( Base ` C ) )
115		simpr 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> w e. ( Base ` D ) )
116	1, 2, 108, 110, 112, 6, 114, 38, 115	curf11 16866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` w ) = ( x ( 1st ` F ) w ) )
117		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( x ( 1st ` F ) w ) = ( ( 1st ` F ) ` <. x , w >. )
118	116, 117	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` w ) = ( ( 1st ` F ) ` <. x , w >. ) )
119		simp22 1095	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
120	119	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> y e. ( Base ` C ) )
121		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( 1st ` G ) ` y ) = ( ( 1st ` G ) ` y )
122	1, 2, 108, 110, 112, 6, 120, 121, 115	curf11 16866	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` y ) ) ` w ) = ( y ( 1st ` F ) w ) )
123		df-ov 6653	. . . . . . . . . . 11 |- ( y ( 1st ` F ) w ) = ( ( 1st ` F ) ` <. y , w >. )
124	122, 123	syl6eq 2672	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` y ) ) ` w ) = ( ( 1st ` F ) ` <. y , w >. ) )
125	118, 124	opeq12d 4410	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` w ) , ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` y ) ) ` w ) >. = <. ( ( 1st ` F ) ` <. x , w >. ) , ( ( 1st ` F ) ` <. y , w >. ) >. )
126		simp23 1096	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> z e. ( Base ` C ) )
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> z e. ( Base ` C ) )
128		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( 1st ` G ) ` z ) = ( ( 1st ` G ) ` z )
129	1, 2, 108, 110, 112, 6, 127, 128, 115	curf11 16866	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ` w ) = ( z ( 1st ` F ) w ) )
130		df-ov 6653	. . . . . . . . . 10 |- ( z ( 1st ` F ) w ) = ( ( 1st ` F ) ` <. z , w >. )
131	129, 130	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ` w ) = ( ( 1st ` F ) ` <. z , w >. ) )
132	125, 131	oveq12d 6668	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( <. ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` w ) , ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` y ) ) ` w ) >. (comp ` E ) ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ` w ) ) = ( <. ( ( 1st ` F ) ` <. x , w >. ) , ( ( 1st ` F ) ` <. y , w >. ) >. (comp ` E ) ( ( 1st ` F ) ` <. z , w >. ) ) )
133		simp3r 1090	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
134	133	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> g e. ( y ( Hom ` C ) z ) )
135		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) = ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g )
136	1, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 120, 127, 134, 135, 115	curf2val 16870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) ` w ) = ( g ( <. y , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) )
137		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( g ( <. y , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) = ( ( <. y , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. )
138	136, 137	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) ` w ) = ( ( <. y , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) )
139		simp3l 1089	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
140	139	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> f e. ( x ( Hom ` C ) y ) )
141		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) = ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f )
142	1, 2, 108, 110, 112, 6, 9, 10, 114, 120, 140, 141, 115	curf2val 16870	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) ` w ) = ( f ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. y , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) )
143		df-ov 6653	. . . . . . . . 9 |- ( f ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. y , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) = ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. y , w >. ) ` <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. )
144	142, 143	syl6eq 2672	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) ` w ) = ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. y , w >. ) ` <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) )
145	132, 138, 144	oveq123d 6671	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) ` w ) ( <. ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` w ) , ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` y ) ) ` w ) >. (comp ` E ) ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ` w ) ) ( ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) ` w ) ) = ( ( ( <. y , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) ( <. ( ( 1st ` F ) ` <. x , w >. ) , ( ( 1st ` F ) ` <. y , w >. ) >. (comp ` E ) ( ( 1st ` F ) ` <. z , w >. ) ) ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. y , w >. ) ` <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) ) )
146		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Hom ` ( C X.c D ) ) = ( Hom ` ( C X.c D ) )
147		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (comp ` ( C X.c D ) ) = (comp ` ( C X.c D ) )
148		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- (comp ` E ) = (comp ` E )
149	67, 112, 68	sylancr 695	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( 1st ` F ) ( ( C X.c D ) Func E ) ( 2nd ` F ) )
150		opelxpi 5148	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. x , w >. e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) )
151	113, 150	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. x , w >. e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) )
152		opelxpi 5148	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. y , w >. e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) )
153	119, 152	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. y , w >. e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) )
154		opelxpi 5148	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. ( Base ` C ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. z , w >. e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) )
155	126, 154	sylan 488	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. z , w >. e. ( ( Base ` C ) X. ( Base ` D ) ) )
156	6, 7, 10, 110, 115	catidcl 16343	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( Id ` D ) ` w ) e. ( w ( Hom ` D ) w ) )
157		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ ( ( Id ` D ) ` w ) e. ( w ( Hom ` D ) w ) ) -> <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. e. ( ( x ( Hom ` C ) y ) X. ( w ( Hom ` D ) w ) ) )
158	140, 156, 157	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. e. ( ( x ( Hom ` C ) y ) X. ( w ( Hom ` D ) w ) ) )
159	63, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 146	xpchom2 16826	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( <. x , w >. ( Hom ` ( C X.c D ) ) <. y , w >. ) = ( ( x ( Hom ` C ) y ) X. ( w ( Hom ` D ) w ) ) )
160	158, 159	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. e. ( <. x , w >. ( Hom ` ( C X.c D ) ) <. y , w >. ) )
161		opelxpi 5148	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g e. ( y ( Hom ` C ) z ) /\ ( ( Id ` D ) ` w ) e. ( w ( Hom ` D ) w ) ) -> <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. e. ( ( y ( Hom ` C ) z ) X. ( w ( Hom ` D ) w ) ) )
162	134, 156, 161	syl2anc 693	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. e. ( ( y ( Hom ` C ) z ) X. ( w ( Hom ` D ) w ) ) )
163	63, 2, 6, 9, 7, 120, 115, 127, 115, 146	xpchom2 16826	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( <. y , w >. ( Hom ` ( C X.c D ) ) <. z , w >. ) = ( ( y ( Hom ` C ) z ) X. ( w ( Hom ` D ) w ) ) )
164	162, 163	eleqtrrd 2704	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. e. ( <. y , w >. ( Hom ` ( C X.c D ) ) <. z , w >. ) )
165	64, 146, 147, 148, 149, 151, 153, 155, 160, 164	funcco 16531	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` ( <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ( <. <. x , w >. , <. y , w >. >. (comp ` ( C X.c D ) ) <. z , w >. ) <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) ) = ( ( ( <. y , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) ( <. ( ( 1st ` F ) ` <. x , w >. ) , ( ( 1st ` F ) ` <. y , w >. ) >. (comp ` E ) ( ( 1st ` F ) ` <. z , w >. ) ) ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. y , w >. ) ` <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) ) )
166		eqid 2622	. . . . . . . . . . 11 |- (comp ` D ) = (comp ` D )
167	63, 2, 6, 9, 7, 114, 115, 120, 115, 26, 166, 147, 127, 115, 140, 156, 134, 156	xpcco2 16827	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ( <. <. x , w >. , <. y , w >. >. (comp ` ( C X.c D ) ) <. z , w >. ) <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) = <. ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) , ( ( ( Id ` D ) ` w ) ( <. w , w >. (comp ` D ) w ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) >. )
168	6, 7, 10, 110, 115, 166, 115, 156	catlid 16344	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( ( Id ` D ) ` w ) ( <. w , w >. (comp ` D ) w ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) = ( ( Id ` D ) ` w ) )
169	168	opeq2d 4409	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> <. ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) , ( ( ( Id ` D ) ` w ) ( <. w , w >. (comp ` D ) w ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) >. = <. ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) , ( ( Id ` D ) ` w ) >. )
170	167, 169	eqtrd 2656	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ( <. <. x , w >. , <. y , w >. >. (comp ` ( C X.c D ) ) <. z , w >. ) <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) = <. ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) , ( ( Id ` D ) ` w ) >. )
171	170	fveq2d 6195	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` ( <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ( <. <. x , w >. , <. y , w >. >. (comp ` ( C X.c D ) ) <. z , w >. ) <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) ) = ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` <. ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) )
172		df-ov 6653	. . . . . . . 8 |- ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) = ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` <. ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) , ( ( Id ` D ) ` w ) >. )
173	171, 172	syl6eqr 2674	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ` ( <. g , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ( <. <. x , w >. , <. y , w >. >. (comp ` ( C X.c D ) ) <. z , w >. ) <. f , ( ( Id ` D ) ` w ) >. ) ) = ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) )
174	145, 165, 173	3eqtr2rd 2663	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) /\ w e. ( Base ` D ) ) -> ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) = ( ( ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) ` w ) ( <. ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` w ) , ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` y ) ) ` w ) >. (comp ` E ) ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ` w ) ) ( ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) ` w ) ) )
175	174	mpteq2dva 4744	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( w e. ( Base ` D ) |-> ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) ) = ( w e. ( Base ` D ) |-> ( ( ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) ` w ) ( <. ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` w ) , ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` y ) ) ` w ) >. (comp ` E ) ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ` w ) ) ( ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) ` w ) ) ) )
176	2, 9, 26, 107, 113, 119, 126, 139, 133	catcocl 16346	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) e. ( x ( Hom ` C ) z ) )
177		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( ( x ( 2nd ` G ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( x ( 2nd ` G ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) )
178	1, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 126, 176, 177	curf2 16869	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( x ( 2nd ` G ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( w e. ( Base ` D ) |-> ( ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ( <. x , w >. ( 2nd ` F ) <. z , w >. ) ( ( Id ` D ) ` w ) ) ) )
179	1, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 113, 119, 139, 141, 23	curf2cl 16871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) e. ( ( ( 1st ` G ) ` x ) ( D Nat E ) ( ( 1st ` G ) ` y ) ) )
180	1, 2, 107, 109, 111, 6, 9, 10, 119, 126, 133, 135, 23	curf2cl 16871	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) e. ( ( ( 1st ` G ) ` y ) ( D Nat E ) ( ( 1st ` G ) ` z ) ) )
181	21, 23, 6, 148, 27, 179, 180	fucco 16622	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) ( <. ( ( 1st ` G ) ` x ) , ( ( 1st ` G ) ` y ) >. (comp ` Q ) ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) ) = ( w e. ( Base ` D ) |-> ( ( ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) ` w ) ( <. ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` x ) ) ` w ) , ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` y ) ) ` w ) >. (comp ` E ) ( ( 1st ` ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ` w ) ) ( ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) ` w ) ) ) )
182	175, 178, 181	3eqtr4d 2666	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. ( Base ` C ) /\ y e. ( Base ` C ) /\ z e. ( Base ` C ) ) /\ ( f e. ( x ( Hom ` C ) y ) /\ g e. ( y ( Hom ` C ) z ) ) ) -> ( ( x ( 2nd ` G ) z ) ` ( g ( <. x , y >. (comp ` C ) z ) f ) ) = ( ( ( y ( 2nd ` G ) z ) ` g ) ( <. ( ( 1st ` G ) ` x ) , ( ( 1st ` G ) ` y ) >. (comp ` Q ) ( ( 1st ` G ) ` z ) ) ( ( x ( 2nd ` G ) y ) ` f ) ) )
183	2, 22, 9, 24, 8, 25, 26, 27, 3, 31, 40, 46, 62, 106, 182	isfuncd 16525	. . 3 |- ( ph -> ( 1st ` G ) ( C Func Q ) ( 2nd ` G ) )
184		df-br 4654	. . 3 |- ( ( 1st ` G ) ( C Func Q ) ( 2nd ` G ) <-> <. ( 1st ` G ) , ( 2nd ` G ) >. e. ( C Func Q ) )
185	183, 184	sylib 208	. 2 |- ( ph -> <. ( 1st ` G ) , ( 2nd ` G ) >. e. ( C Func Q ) )
186	20, 185	eqeltrd 2701	1 |- ( ph -> G e. ( C Func Q ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   <.cop 4183   class class class wbr 4653   |-> cmpt 4729   X. cxp 5112   o. ccom 5118   Rel wrel 5119   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   |-> cmpt2 6652   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   Basecbs 15857   Hom chom 15952  compcco 15953   Catccat 16325   Idccid 16326   Func cfunc 16514   Nat cnat 16601   FuncCat cfuc 16602   X._c cxpc 16808   curry_F ccurf 16850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-fal 1489  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-fz 12327  df-struct 15859  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-hom 15966  df-cco 15967  df-cat 16329  df-cid 16330  df-func 16518  df-nat 16603  df-fuc 16604  df-xpc 16812  df-curf 16854

This theorem is referenced by:  uncfcurf  16879  diagcl  16881  curf2ndf  16887  yoncl  16902