Theorem islssfgi 37642

Description: Finitely spanned subspaces are finitely generated. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islssfgi.n	|- N = ( LSpan ` W )
islssfgi.v	|- V = ( Base ` W )
islssfgi.x	|- X = ( W ↾s ( N ` B ) )

Assertion

Ref	Expression
islssfgi	|- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> X e. LFinGen )

Proof of Theorem islssfgi

Dummy variable a is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islssfgi.v	. . . . . . . 8 |- V = ( Base ` W )
2		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Base ` W ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . . . . . 7 |- V e. _V
4	3	elpw2 4828	. . . . . 6 |- ( B e. ~P V <-> B C_ V )
5	4	biimpri 218	. . . . 5 |- ( B C_ V -> B e. ~P V )
6	5	3ad2ant2 1083	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> B e. ~P V )
7		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> B e. Fin )
8	6, 7	elind 3798	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> B e. ( ~P V i^i Fin ) )
9		eqid 2622	. . 3 |- ( N ` B ) = ( N ` B )
10		fveq2 6191	. . . . 5 |- ( a = B -> ( N ` a ) = ( N ` B ) )
11	10	eqeq1d 2624	. . . 4 |- ( a = B -> ( ( N ` a ) = ( N ` B ) <-> ( N ` B ) = ( N ` B ) ) )
12	11	rspcev 3309	. . 3 |- ( ( B e. ( ~P V i^i Fin ) /\ ( N ` B ) = ( N ` B ) ) -> E. a e. ( ~P V i^i Fin ) ( N ` a ) = ( N ` B ) )
13	8, 9, 12	sylancl 694	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> E. a e. ( ~P V i^i Fin ) ( N ` a ) = ( N ` B ) )
14		simp1 1061	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> W e. LMod )
15		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
16		islssfgi.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
17	1, 15, 16	lspcl 18976	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V ) -> ( N ` B ) e. ( LSubSp ` W ) )
18	17	3adant3 1081	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> ( N ` B ) e. ( LSubSp ` W ) )
19		islssfgi.x	. . . 4 |- X = ( W ↾s ( N ` B ) )
20	19, 15, 16, 1	islssfg2 37641	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` B ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( X e. LFinGen <-> E. a e. ( ~P V i^i Fin ) ( N ` a ) = ( N ` B ) ) )
21	14, 18, 20	syl2anc 693	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> ( X e. LFinGen <-> E. a e. ( ~P V i^i Fin ) ( N ` a ) = ( N ` B ) ) )
22	13, 21	mpbird 247	1 |- ( ( W e. LMod /\ B C_ V /\ B e. Fin ) -> X e. LFinGen )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   ~Pcpw 4158   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Fincfn 7955   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971  LFinGenclfig 37637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-sca 15957  df-vsca 15958  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lfig 37638

This theorem is referenced by:  lsmfgcl  37644  lmhmfgima  37654  lmhmfgsplit  37656