Theorem issubrngd2 19189

Description: Prove a subring by closure (definition version). (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubrngd.s	|- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
issubrngd.z	|- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
issubrngd.p	|- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
issubrngd.ss	|- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
issubrngd.zcl	|- ( ph -> .0. e. D )
issubrngd.acl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
issubrngd.ncl	|- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
issubrngd.o	|- ( ph -> .1. = ( 1r ` I ) )
issubrngd.t	|- ( ph -> .x. = ( .r ` I ) )
issubrngd.ocl	|- ( ph -> .1. e. D )
issubrngd.tcl	|- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .x. y ) e. D )
issubrngd.g	|- ( ph -> I e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
issubrngd2	|- ( ph -> D e. (SubRing ` I ) )

Distinct variable groups:   x, y, .0.   x, D, y   x, I, y   x, .+ , y   ph, x, y   x, S, y   x, .x. , y

Allowed substitution hints:   .1. ( x, y)

Proof of Theorem issubrngd2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubrngd.s	. . 3 |- ( ph -> S = ( I ↾s D ) )
2		issubrngd.z	. . 3 |- ( ph -> .0. = ( 0g ` I ) )
3		issubrngd.p	. . 3 |- ( ph -> .+ = ( +g ` I ) )
4		issubrngd.ss	. . 3 |- ( ph -> D C_ ( Base ` I ) )
5		issubrngd.zcl	. . 3 |- ( ph -> .0. e. D )
6		issubrngd.acl	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .+ y ) e. D )
7		issubrngd.ncl	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. D ) -> ( ( invg ` I ) ` x ) e. D )
8		issubrngd.g	. . . 4 |- ( ph -> I e. Ring )
9		ringgrp 18552	. . . 4 |- ( I e. Ring -> I e. Grp )
10	8, 9	syl 17	. . 3 |- ( ph -> I e. Grp )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10	issubgrpd2 17610	. 2 |- ( ph -> D e. (SubGrp ` I ) )
12		issubrngd.o	. . 3 |- ( ph -> .1. = ( 1r ` I ) )
13		issubrngd.ocl	. . 3 |- ( ph -> .1. e. D )
14	12, 13	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> ( 1r ` I ) e. D )
15		issubrngd.t	. . . . 5 |- ( ph -> .x. = ( .r ` I ) )
16	15	oveqdr 6674	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x .x. y ) = ( x ( .r ` I ) y ) )
17		issubrngd.tcl	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. D /\ y e. D ) -> ( x .x. y ) e. D )
18	17	3expb 1266	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x .x. y ) e. D )
19	16, 18	eqeltrrd 2702	. . 3 |- ( ( ph /\ ( x e. D /\ y e. D ) ) -> ( x ( .r ` I ) y ) e. D )
20	19	ralrimivva 2971	. 2 |- ( ph -> A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D )
21		eqid 2622	. . . 4 |- ( Base ` I ) = ( Base ` I )
22		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1r ` I ) = ( 1r ` I )
23		eqid 2622	. . . 4 |- ( .r ` I ) = ( .r ` I )
24	21, 22, 23	issubrg2 18800	. . 3 |- ( I e. Ring -> ( D e. (SubRing ` I ) <-> ( D e. (SubGrp ` I ) /\ ( 1r ` I ) e. D /\ A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D ) ) )
25	8, 24	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( D e. (SubRing ` I ) <-> ( D e. (SubGrp ` I ) /\ ( 1r ` I ) e. D /\ A. x e. D A. y e. D ( x ( .r ` I ) y ) e. D ) ) )
26	11, 14, 20, 25	mpbir3and 1245	1 |- ( ph -> D e. (SubRing ` I ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   C_ wss 3574   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   ↾_s cress 15858   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423  SubGrpcsubg 17588   1rcur 18501   Ringcrg 18547  SubRingcsubrg 18776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-subg 17591  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-subrg 18778

This theorem is referenced by:  rngunsnply  37743