Theorem iunconnlem2 39171

Description: The indexed union of connected overlapping subspaces sharing a common point is connected. This proof was automatically derived by completeusersproof from its Virtual Deduction proof counterpart http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. As it is verified by the Metamath program, iunconnlem2 39171 verifies http://us.metamath.org/other/completeusersproof/iunconlem2vd.html. (Contributed by Alan Sare, 22-Apr-2018.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
iunconnlem2.1	|- ( ps <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
iunconnlem2.2	|- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
iunconnlem2.3	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
iunconnlem2.4	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
iunconnlem2.5	|- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Conn )

Assertion

Ref	Expression
iunconnlem2	|- ( ph -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Conn )

Distinct variable groups:   u, k, v, ph   A, k, u, v   u, B, v   k, J, u, v   P, k   k, X, u, v

Allowed substitution hints:   ps( v, u, k)   B( k)   P( v, u)

Proof of Theorem iunconnlem2

Dummy variable w is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iunconnlem2.2	. 2 |- ( ph -> J e. (TopOn ` X ) )
2		iunconnlem2.3	. . . . 5 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> B C_ X )
3	2	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( k e. A -> B C_ X ) )
4	3	ralrimiv 2965	. . 3 |- ( ph -> A. k e. A B C_ X )
5		iunss 4561	. . . 4 |- ( U_ k e. A B C_ X <-> A. k e. A B C_ X )
6	5	biimpri 218	. . 3 |- ( A. k e. A B C_ X -> U_ k e. A B C_ X )
7	4, 6	syl 17	. 2 |- ( ph -> U_ k e. A B C_ X )
8		iunconnlem2.1	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ps <-> ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
9	8	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ps -> ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
10	9	simprd 479	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
11		simp-4r 807	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
12	9, 11	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ps -> ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
13		n0 3931	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) <-> E. w w e. ( u i^i U_ k e. A B ) )
14	13	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) -> E. w w e. ( u i^i U_ k e. A B ) )
15	12, 14	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ps -> E. w w e. ( u i^i U_ k e. A B ) )
16		inss2 3834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( u i^i U_ k e. A B ) C_ U_ k e. A B
17		id 22	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> w e. ( u i^i U_ k e. A B ) )
18	16, 17	sseldi 3601	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> w e. U_ k e. A B )
19		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( w e. U_ k e. A B <-> E. k e. A w e. B )
20	19	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( w e. U_ k e. A B -> E. k e. A w e. B )
21	18, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( w e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> E. k e. A w e. B )
22		rexn0 4074	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( E. k e. A w e. B -> A =/= (/) )
23	21, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> A =/= (/) )
24	23	exlimiv 1858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( E. w w e. ( u i^i U_ k e. A B ) -> A =/= (/) )
25	15, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ps -> A =/= (/) )
26		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ k ( ph /\ u e. J )
27		nfv 1843	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/ k v e. J
28	26, 27	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J )
29		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k u
30		nfiu1 4550	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- F/_ k U_ k e. A B
31	29, 30	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k ( u i^i U_ k e. A B )
32		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k (/)
33	31, 32	nfne 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/ k ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/)
34	28, 33	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
35		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- F/_ k v
36	35, 30	nfin 3820	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k ( v i^i U_ k e. A B )
37	36, 32	nfne 2894	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/ k ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/)
38	34, 37	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
39		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k ( u i^i v )
40		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- F/_ k X
41	40, 30	nfdif 3731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- F/_ k ( X \ U_ k e. A B )
42	39, 41	nfss 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/ k ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B )
43	38, 42	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ k ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
44		nfcv 2764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- F/_ k ( u u. v )
45	30, 44	nfss 3596	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- F/ k U_ k e. A B C_ ( u u. v )
46	43, 45	nfan 1828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- F/ k ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
47	8	nfbii 1778	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( F/ k ps <-> F/ k ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
48	46, 47	mpbir 221	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- F/ k ps
49		simp-6l 810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ph )
50	9, 49	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ps -> ph )
51		iunconnlem2.4	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> P e. B )
52	50, 51	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ps /\ k e. A ) -> P e. B )
53	52	ex 450	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ps -> ( k e. A -> P e. B ) )
54	48, 53	ralrimi 2957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ps -> A. k e. A P e. B )
55		r19.2z 4060	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( A =/= (/) /\ A. k e. A P e. B ) -> E. k e. A P e. B )
56	55	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A. k e. A P e. B /\ A =/= (/) ) -> E. k e. A P e. B )
57	56	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A =/= (/) /\ A. k e. A P e. B ) -> E. k e. A P e. B )
58	25, 54, 57	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ps -> E. k e. A P e. B )
59		eliun 4524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( P e. U_ k e. A B <-> E. k e. A P e. B )
60	59	biimpri 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( E. k e. A P e. B -> P e. U_ k e. A B )
61	58, 60	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> P e. U_ k e. A B )
62	10, 61	sseldd 3604	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ps -> P e. ( u u. v ) )
63		elun 3753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( P e. ( u u. v ) <-> ( P e. u \/ P e. v ) )
64	63	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( P e. ( u u. v ) -> ( P e. u \/ P e. v ) )
65	62, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ps -> ( P e. u \/ P e. v ) )
66	8, 65	sylbir 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( P e. u \/ P e. v ) )
67	50, 1	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> J e. (TopOn ` X ) )
68	50, 2	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ps /\ k e. A ) -> B C_ X )
69		iunconnlem2.5	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Conn )
70	50, 69	sylan 488	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ps /\ k e. A ) -> ( J ↾t B ) e. Conn )
71		simp-6r 811	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> u e. J )
72	9, 71	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> u e. J )
73		simp-5r 809	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> v e. J )
74	9, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> v e. J )
75		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
76	9, 75	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) )
77		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
78	9, 77	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
79	67, 68, 52, 70, 72, 74, 76, 78, 10, 48	iunconnlem 21230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ps -> -. P e. u )
80		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v i^i u ) = ( u i^i v )
81	80, 78	syl5eqss 3649	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> ( v i^i u ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) )
82		uncom 3757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( v u. u ) = ( u u. v )
83	10, 82	syl6sseqr 3652	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ps -> U_ k e. A B C_ ( v u. u ) )
84	67, 68, 52, 70, 74, 72, 12, 81, 83, 48	iunconnlem 21230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ps -> -. P e. v )
85		pm4.56 516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( -. P e. u /\ -. P e. v ) <-> -. ( P e. u \/ P e. v ) )
86	85	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -. P e. u /\ -. P e. v ) -> -. ( P e. u \/ P e. v ) )
87	86	idiALT 38683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( -. P e. u /\ -. P e. v ) -> -. ( P e. u \/ P e. v ) )
88	79, 84, 87	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ps -> -. ( P e. u \/ P e. v ) )
89	8, 88	sylbir 225	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) /\ U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) -> -. ( P e. u \/ P e. v ) )
90	66, 89	pm2.65da 600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) )
91	90	ex 450	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) -> ( ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
92	91	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ph /\ u e. J ) /\ v e. J ) /\ ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) ) -> ( ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) -> ( ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
93	92	ex3 1263	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ u e. J /\ v e. J ) -> ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) -> ( ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) -> ( ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) ) )
94	93	3impd 1281	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. J /\ v e. J ) -> ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
95	94	3expia 1267	. . . . 5 |- ( ( ph /\ u e. J ) -> ( v e. J -> ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
96	95	ex 450	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. J -> ( v e. J -> ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) ) )
97	96	impd 447	. . 3 |- ( ph -> ( ( u e. J /\ v e. J ) -> ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
98	97	ralrimivv 2970	. 2 |- ( ph -> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) )
99		connsub 21224	. . 3 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ U_ k e. A B C_ X ) -> ( ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Conn <-> A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) )
100	99	biimp3ar 1433	. 2 |- ( ( J e. (TopOn ` X ) /\ U_ k e. A B C_ X /\ A. u e. J A. v e. J ( ( ( u i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( v i^i U_ k e. A B ) =/= (/) /\ ( u i^i v ) C_ ( X \ U_ k e. A B ) ) -> -. U_ k e. A B C_ ( u u. v ) ) ) -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Conn )
101	1, 7, 98, 100	syl3anc 1326	1 |- ( ph -> ( J ↾t U_ k e. A B ) e. Conn )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   E.wex 1704   F/wnf 1708   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ↾_t crest 16081  TopOnctopon 20715  Conncconn 21214

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-fi 8317  df-rest 16083  df-topgen 16104  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-conn 21215

This theorem is referenced by:  iunconnALT  39172