Theorem kelac2 37635

Description: Kelley's choice, most common form: compactness of a product of knob topologies recovers choice. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kelac2.s	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> S e. V )
kelac2.z	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> S =/= (/) )
kelac2.k	|- ( ph -> ( Xt_ ` ( x e. I |-> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ) ) e. Comp )

Assertion

Ref	Expression
kelac2	|- ( ph -> X_ x e. I S =/= (/) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, I

Allowed substitution hints:   S( x)   V( x)

Proof of Theorem kelac2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kelac2.z	. 2 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S =/= (/) )
2		kelac2.s	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S e. V )
3		kelac2lem 37634	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )
4		cmptop 21198	. . 3 |- ( ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
5	2, 3, 4	3syl 18	. 2 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
6		uncom 3757	. . . . . . 7 |- ( S u. { ~P U. S } ) = ( { ~P U. S } u. S )
7	6	difeq1i 3724	. . . . . 6 |- ( ( S u. { ~P U. S } ) \ S ) = ( ( { ~P U. S } u. S ) \ S )
8		difun2 4048	. . . . . 6 |- ( ( { ~P U. S } u. S ) \ S ) = ( { ~P U. S } \ S )
9	7, 8	eqtri 2644	. . . . 5 |- ( ( S u. { ~P U. S } ) \ S ) = ( { ~P U. S } \ S )
10		snex 4908	. . . . . . 7 |- { ~P U. S } e. _V
11		uniprg 4450	. . . . . . 7 |- ( ( S e. V /\ { ~P U. S } e. _V ) -> U. { S , { ~P U. S } } = ( S u. { ~P U. S } ) )
12	2, 10, 11	sylancl 694	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> U. { S , { ~P U. S } } = ( S u. { ~P U. S } ) )
13	12	difeq1d 3727	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( U. { S , { ~P U. S } } \ S ) = ( ( S u. { ~P U. S } ) \ S ) )
14		incom 3805	. . . . . . 7 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = ( S i^i { ~P U. S } )
15		pwuninel 7401	. . . . . . . . 9 |- -. ~P U. S e. S
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> -. ~P U. S e. S )
17		disjsn 4246	. . . . . . . 8 |- ( ( S i^i { ~P U. S } ) = (/) <-> -. ~P U. S e. S )
18	16, 17	sylibr 224	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( S i^i { ~P U. S } ) = (/) )
19	14, 18	syl5eq 2668	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( { ~P U. S } i^i S ) = (/) )
20		disj3 4021	. . . . . 6 |- ( ( { ~P U. S } i^i S ) = (/) <-> { ~P U. S } = ( { ~P U. S } \ S ) )
21	19, 20	sylib 208	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> { ~P U. S } = ( { ~P U. S } \ S ) )
22	9, 13, 21	3eqtr4a 2682	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( U. { S , { ~P U. S } } \ S ) = { ~P U. S } )
23		prex 4909	. . . . . 6 |- { S , { ~P U. S } } e. _V
24		bastg 20770	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. _V -> { S , { ~P U. S } } C_ ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) )
25	23, 24	mp1i 13	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> { S , { ~P U. S } } C_ ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) )
26	10	prid2 4298	. . . . . 6 |- { ~P U. S } e. { S , { ~P U. S } }
27	26	a1i 11	. . . . 5 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> { ~P U. S } e. { S , { ~P U. S } } )
28	25, 27	sseldd 3604	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> { ~P U. S } e. ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) )
29	22, 28	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( U. { S , { ~P U. S } } \ S ) e. ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) )
30		prid1g 4295	. . . . 5 |- ( S e. V -> S e. { S , { ~P U. S } } )
31		elssuni 4467	. . . . 5 |- ( S e. { S , { ~P U. S } } -> S C_ U. { S , { ~P U. S } } )
32	2, 30, 31	3syl 18	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S C_ U. { S , { ~P U. S } } )
33		unitg 20771	. . . . . . 7 |- ( { S , { ~P U. S } } e. _V -> U. ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) = U. { S , { ~P U. S } } )
34	23, 33	ax-mp 5	. . . . . 6 |- U. ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) = U. { S , { ~P U. S } }
35	34	eqcomi 2631	. . . . 5 |- U. { S , { ~P U. S } } = U. ( topGen ` { S , { ~P U. S } } )
36	35	iscld2 20832	. . . 4 |- ( ( ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top /\ S C_ U. { S , { ~P U. S } } ) -> ( S e. ( Clsd ` ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ) <-> ( U. { S , { ~P U. S } } \ S ) e. ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ) )
37	5, 32, 36	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( S e. ( Clsd ` ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ) <-> ( U. { S , { ~P U. S } } \ S ) e. ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ) )
38	29, 37	mpbird 247	. 2 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S e. ( Clsd ` ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ) )
39		f1oi 6174	. . 3 |- ( _I |` S ) : S -1-1-onto-> S
40	39	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( _I |` S ) : S -1-1-onto-> S )
41		elssuni 4467	. . . . 5 |- ( { ~P U. S } e. { S , { ~P U. S } } -> { ~P U. S } C_ U. { S , { ~P U. S } } )
42	26, 41	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> { ~P U. S } C_ U. { S , { ~P U. S } } )
43		uniexg 6955	. . . . 5 |- ( S e. V -> U. S e. _V )
44		pwexg 4850	. . . . 5 |- ( U. S e. _V -> ~P U. S e. _V )
45		snidg 4206	. . . . 5 |- ( ~P U. S e. _V -> ~P U. S e. { ~P U. S } )
46	2, 43, 44, 45	4syl 19	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ~P U. S e. { ~P U. S } )
47	42, 46	sseldd 3604	. . 3 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ~P U. S e. U. { S , { ~P U. S } } )
48	47, 34	syl6eleqr 2712	. 2 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ~P U. S e. U. ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) )
49		kelac2.k	. 2 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( x e. I |-> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ) ) e. Comp )
50	1, 5, 38, 40, 48, 49	kelac1 37633	1 |- ( ph -> X_ x e. I S =/= (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   _I cid 5023   |` cres 5116   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   X_cixp 7908   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  dfac21  37636