Theorem kelac2lem 37634

Description: Lemma for kelac2 37635 and dfac21 37636: knob topologies are compact. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
kelac2lem	|- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Proof of Theorem kelac2lem

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		prex 4909	. . . . 5 |- { S , { ~P U. S } } e. _V
2		vex 3203	. . . . . . . 8 |- x e. _V
3	2	elpr 4198	. . . . . . 7 |- ( x e. { S , { ~P U. S } } <-> ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) )
4		vex 3203	. . . . . . . 8 |- y e. _V
5	4	elpr 4198	. . . . . . 7 |- ( y e. { S , { ~P U. S } } <-> ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) )
6		eqtr3 2643	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> x = y )
7	6	orcd 407	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
8		ineq12 3809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = ( { ~P U. S } i^i S ) )
9		incom 3805	. . . . . . . . . . 11 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = ( S i^i { ~P U. S } )
10		pwuninel 7401	. . . . . . . . . . . 12 |- -. ~P U. S e. S
11		disjsn 4246	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S i^i { ~P U. S } ) = (/) <-> -. ~P U. S e. S )
12	10, 11	mpbir 221	. . . . . . . . . . 11 |- ( S i^i { ~P U. S } ) = (/)
13	9, 12	eqtri 2644	. . . . . . . . . 10 |- ( { ~P U. S } i^i S ) = (/)
14	8, 13	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x i^i y ) = (/) )
15	14	olcd 408	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = S ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
16		ineq12 3809	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = ( S i^i { ~P U. S } ) )
17	16, 12	syl6eq 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x i^i y ) = (/) )
18	17	olcd 408	. . . . . . . 8 |- ( ( x = S /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
19		eqtr3 2643	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> x = y )
20	19	orcd 407	. . . . . . . 8 |- ( ( x = { ~P U. S } /\ y = { ~P U. S } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
21	7, 15, 18, 20	ccase 987	. . . . . . 7 |- ( ( ( x = S \/ x = { ~P U. S } ) /\ ( y = S \/ y = { ~P U. S } ) ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
22	3, 5, 21	syl2anb 496	. . . . . 6 |- ( ( x e. { S , { ~P U. S } } /\ y e. { S , { ~P U. S } } ) -> ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) )
23	22	rgen2a 2977	. . . . 5 |- A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) )
24		baspartn 20758	. . . . 5 |- ( ( { S , { ~P U. S } } e. _V /\ A. x e. { S , { ~P U. S } } A. y e. { S , { ~P U. S } } ( x = y \/ ( x i^i y ) = (/) ) ) -> { S , { ~P U. S } } e. TopBases )
25	1, 23, 24	mp2an 708	. . . 4 |- { S , { ~P U. S } } e. TopBases
26		tgcl 20773	. . . 4 |- ( { S , { ~P U. S } } e. TopBases -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
27	25, 26	mp1i 13	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Top )
28		prfi 8235	. . . . . 6 |- { S , { ~P U. S } } e. Fin
29		pwfi 8261	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. Fin <-> ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin )
30	28, 29	mpbi 220	. . . . 5 |- ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin
31		tgdom 20782	. . . . . 6 |- ( { S , { ~P U. S } } e. _V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } )
32	1, 31	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } }
33		domfi 8181	. . . . 5 |- ( ( ~P { S , { ~P U. S } } e. Fin /\ ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) ~<_ ~P { S , { ~P U. S } } ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
34	30, 32, 33	mp2an 708	. . . 4 |- ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin
35	34	a1i 11	. . 3 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Fin )
36	27, 35	elind 3798	. 2 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) )
37		fincmp 21196	. 2 |- ( ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. ( Top i^i Fin ) -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )
38	36, 37	syl 17	1 |- ( S e. V -> ( topGen ` { S , { ~P U. S } } ) e. Comp )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 383   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   ~<_ cdom 7953   Fincfn 7955   topGenctg 16098   Topctop 20698   TopBasesctb 20749   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-topgen 16104  df-top 20699  df-bases 20750  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  kelac2  37635  dfac21  37636