Theorem kelac1 37633

Description: Kelley's choice, basic form: if a collection of sets can be cast as closed sets in the factors of a topology, and there is a definable element in each topology (which need not be in the closed set - if it were this would be trivial), then compactness (via finite intersection) guarantees that the final product is nonempty. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
kelac1.z	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> S =/= (/) )
kelac1.j	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> J e. Top )
kelac1.c	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> C e. ( Clsd ` J ) )
kelac1.b	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> B : S -1-1-onto-> C )
kelac1.u	|- ( ( ph /\ x e. I ) -> U e. U. J )
kelac1.k	|- ( ph -> ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) e. Comp )

Assertion

Ref	Expression
kelac1	|- ( ph -> X_ x e. I S =/= (/) )

Distinct variable groups:   ph, x   x, I

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x)   S( x)   U( x)   J( x)

Proof of Theorem kelac1

Dummy variables f y z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kelac1.c	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> C e. ( Clsd ` J ) )
2		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- U. J = U. J
3	2	cldss 20833	. . . . . . 7 |- ( C e. ( Clsd ` J ) -> C C_ U. J )
4	1, 3	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> C C_ U. J )
5	4	ralrimiva 2966	. . . . 5 |- ( ph -> A. x e. I C C_ U. J )
6		boxriin 7950	. . . . 5 |- ( A. x e. I C C_ U. J -> X_ x e. I C = ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. I X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) )
7	5, 6	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> X_ x e. I C = ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. I X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) )
8		kelac1.k	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) e. Comp )
9		cmptop 21198	. . . . . . . . 9 |- ( ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) e. Comp -> ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) e. Top )
10		0ntop 20710	. . . . . . . . . . 11 |- -. (/) e. Top
11		fvprc 6185	. . . . . . . . . . . 12 |- ( -. ( x e. I |-> J ) e. _V -> ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) = (/) )
12	11	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( -. ( x e. I |-> J ) e. _V -> ( ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) e. Top <-> (/) e. Top ) )
13	10, 12	mtbiri 317	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( x e. I |-> J ) e. _V -> -. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) e. Top )
14	13	con4i 113	. . . . . . . . 9 |- ( ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) e. Top -> ( x e. I |-> J ) e. _V )
15	8, 9, 14	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. I |-> J ) e. _V )
16		kelac1.j	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> J e. Top )
17		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( x e. I |-> J ) = ( x e. I |-> J )
18	16, 17	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. I |-> J ) : I --> Top )
19		dmfex 7124	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. I |-> J ) e. _V /\ ( x e. I |-> J ) : I --> Top ) -> I e. _V )
20	15, 18, 19	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ph -> I e. _V )
21	16	ralrimiva 2966	. . . . . . 7 |- ( ph -> A. x e. I J e. Top )
22		eqid 2622	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) = ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) )
23	22	ptunimpt 21398	. . . . . . 7 |- ( ( I e. _V /\ A. x e. I J e. Top ) -> X_ x e. I U. J = U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) )
24	20, 21, 23	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> X_ x e. I U. J = U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) )
25	24	ineq1d 3813	. . . . 5 |- ( ph -> ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. I X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) = ( U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) i^i |^|_ y e. I X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) )
26		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) = U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) )
27	2	topcld 20839	. . . . . . . . . 10 |- ( J e. Top -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
28	16, 27	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> U. J e. ( Clsd ` J ) )
29	1, 28	ifcld 4131	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> if ( x = y , C , U. J ) e. ( Clsd ` J ) )
30	20, 16, 29	ptcldmpt 21417	. . . . . . 7 |- ( ph -> X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) ) )
31	30	adantr 481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ y e. I ) -> X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) e. ( Clsd ` ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) ) )
32		simprr 796	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> z e. Fin )
33		kelac1.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> B : S -1-1-onto-> C )
34		f1ofo 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B : S -1-1-onto-> C -> B : S -onto-> C )
35		foima 6120	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B : S -onto-> C -> ( B " S ) = C )
36	33, 34, 35	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( B " S ) = C )
37	36	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> C = ( B " S ) )
38		kelac1.z	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> S =/= (/) )
39		f1ofn 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( B : S -1-1-onto-> C -> B Fn S )
40	33, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> B Fn S )
41		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- S C_ S
42		fnimaeq0 6013	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( B Fn S /\ S C_ S ) -> ( ( B " S ) = (/) <-> S = (/) ) )
43	40, 41, 42	sylancl 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( B " S ) = (/) <-> S = (/) ) )
44	43	necon3bid 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( B " S ) =/= (/) <-> S =/= (/) ) )
45	38, 44	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( B " S ) =/= (/) )
46	37, 45	eqnetrd 2861	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> C =/= (/) )
47		n0 3931	. . . . . . . . . . . 12 |- ( C =/= (/) <-> E. w w e. C )
48	46, 47	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E. w w e. C )
49		rexv 3220	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. w e. _V w e. C <-> E. w w e. C )
50	48, 49	sylibr 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> E. w e. _V w e. C )
51	50	ralrimiva 2966	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> A. x e. I E. w e. _V w e. C )
52		ssralv 3666	. . . . . . . . . 10 |- ( z C_ I -> ( A. x e. I E. w e. _V w e. C -> A. x e. z E. w e. _V w e. C ) )
53	52	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( z C_ I /\ z e. Fin ) -> ( A. x e. I E. w e. _V w e. C -> A. x e. z E. w e. _V w e. C ) )
54	51, 53	mpan9 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> A. x e. z E. w e. _V w e. C )
55		eleq1 2689	. . . . . . . . 9 |- ( w = ( f ` x ) -> ( w e. C <-> ( f ` x ) e. C ) )
56	55	ac6sfi 8204	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. Fin /\ A. x e. z E. w e. _V w e. C ) -> E. f ( f : z --> _V /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) )
57	32, 54, 56	syl2anc 693	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> E. f ( f : z --> _V /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) )
58	24	eqcomd 2628	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) = X_ x e. I U. J )
59	58	ineq1d 3813	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) = ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) )
60	59	ad2antrr 762	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) = ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) )
61		iftrue 4092	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. z -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) = ( f ` x ) )
62	61	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ ( x e. z /\ ( f ` x ) e. C ) ) -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) = ( f ` x ) )
63		simpll 790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ x e. z ) -> ph )
64		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> z C_ I )
65	64	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ x e. z ) -> x e. I )
66	63, 65, 4	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ x e. z ) -> C C_ U. J )
67	66	sseld 3602	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ x e. z ) -> ( ( f ` x ) e. C -> ( f ` x ) e. U. J ) )
68	67	impr 649	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ ( x e. z /\ ( f ` x ) e. C ) ) -> ( f ` x ) e. U. J )
69	62, 68	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ ( x e. z /\ ( f ` x ) e. C ) ) -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J )
70	69	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ x e. z ) -> ( ( f ` x ) e. C -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J ) )
71	70	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> ( A. x e. z ( f ` x ) e. C -> A. x e. z if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J ) )
72	71	imp 445	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> A. x e. z if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J )
73		eldifn 3733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( x e. ( I \ z ) -> -. x e. z )
74	73	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( I \ z ) -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) = U )
75	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( I \ z ) ) -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) = U )
76		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x e. ( I \ z ) -> x e. I )
77		kelac1.u	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> U e. U. J )
78	76, 77	sylan2 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ x e. ( I \ z ) ) -> U e. U. J )
79	75, 78	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. ( I \ z ) ) -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J )
80	79	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> A. x e. ( I \ z ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J )
81	80	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> A. x e. ( I \ z ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J )
82		ralun 3795	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A. x e. z if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J /\ A. x e. ( I \ z ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J ) -> A. x e. ( z u. ( I \ z ) ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J )
83	72, 81, 82	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> A. x e. ( z u. ( I \ z ) ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J )
84		undif 4049	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( z C_ I <-> ( z u. ( I \ z ) ) = I )
85	84	biimpi 206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( z C_ I -> ( z u. ( I \ z ) ) = I )
86	85	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> ( z u. ( I \ z ) ) = I )
87	86	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> ( A. x e. ( z u. ( I \ z ) ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J <-> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J ) )
88	87	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( A. x e. ( z u. ( I \ z ) ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J <-> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J ) )
89	83, 88	mpbid 222	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J )
90	20	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> I e. _V )
91		mptelixpg 7945	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I U. J <-> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J ) )
92	90, 91	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I U. J <-> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. U. J ) )
93	89, 92	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I U. J )
94		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( C = if ( x = y , C , U. J ) -> ( ( f ` x ) e. C <-> ( f ` x ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) )
95		eleq2 2690	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( U. J = if ( x = y , C , U. J ) -> ( ( f ` x ) e. U. J <-> ( f ` x ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) )
96		simplrr 801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ ( x e. z /\ ( f ` x ) e. C ) ) /\ x = y ) -> ( f ` x ) e. C )
97	68	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ ( x e. z /\ ( f ` x ) e. C ) ) /\ -. x = y ) -> ( f ` x ) e. U. J )
98	94, 95, 96, 97	ifbothda 4123	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ ( x e. z /\ ( f ` x ) e. C ) ) -> ( f ` x ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
99	62, 98	eqeltrd 2701	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ ( x e. z /\ ( f ` x ) e. C ) ) -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
100	99	expr 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ x e. z ) -> ( ( f ` x ) e. C -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) )
101	100	ralimdva 2962	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> ( A. x e. z ( f ` x ) e. C -> A. x e. z if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) )
102	101	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> A. x e. z if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
103	102	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) /\ y e. z ) -> A. x e. z if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
104	78	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> U e. U. J )
105	74	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) = U )
106		incom 3805	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( ( I \ z ) i^i z ) = ( z i^i ( I \ z ) )
107		disjdif 4040	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ( z i^i ( I \ z ) ) = (/)
108	106, 107	eqtri 2644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- ( ( I \ z ) i^i z ) = (/)
109	108	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> ( ( I \ z ) i^i z ) = (/) )
110		simpr 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> x e. ( I \ z ) )
111		simplr 792	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> y e. z )
112		disjne 4022	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( ( ( I \ z ) i^i z ) = (/) /\ x e. ( I \ z ) /\ y e. z ) -> x =/= y )
113	109, 110, 111, 112	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> x =/= y )
114	113	neneqd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> -. x = y )
115	114	iffalsed 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> if ( x = y , C , U. J ) = U. J )
116	104, 105, 115	3eltr4d 2716	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ y e. z ) /\ x e. ( I \ z ) ) -> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
117	116	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ y e. z ) -> A. x e. ( I \ z ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
118	117	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ y e. z ) -> A. x e. ( I \ z ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
119	118	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) /\ y e. z ) -> A. x e. ( I \ z ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
120		ralun 3795	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A. x e. z if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) /\ A. x e. ( I \ z ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) -> A. x e. ( z u. ( I \ z ) ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
121	103, 119, 120	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) /\ y e. z ) -> A. x e. ( z u. ( I \ z ) ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
122	86	raleqdv 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> ( A. x e. ( z u. ( I \ z ) ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) <-> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) )
123	122	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) /\ y e. z ) -> ( A. x e. ( z u. ( I \ z ) ) if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) <-> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) )
124	121, 123	mpbid 222	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) /\ y e. z ) -> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) )
125	20	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) /\ y e. z ) -> I e. _V )
126		mptelixpg 7945	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) <-> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) )
127	125, 126	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) /\ y e. z ) -> ( ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) <-> A. x e. I if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) e. if ( x = y , C , U. J ) ) )
128	124, 127	mpbird 247	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) /\ y e. z ) -> ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) )
129	128	ralrimiva 2966	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> A. y e. z ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) )
130		mptexg 6484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( I e. _V -> ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. _V )
131	20, 130	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. _V )
132	131	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. _V )
133		eliin 4525	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. _V -> ( ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) <-> A. y e. z ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) )
134	132, 133	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) <-> A. y e. z ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) )
135	129, 134	mpbird 247	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) )
136	93, 135	elind 3798	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) )
137		ne0i 3921	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. I |-> if ( x e. z , ( f ` x ) , U ) ) e. ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) -> ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) =/= (/) )
138	136, 137	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) =/= (/) )
139	60, 138	eqnetrd 2861	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) -> ( U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) =/= (/) )
140	139	adantrl 752	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) /\ ( f : z --> _V /\ A. x e. z ( f ` x ) e. C ) ) -> ( U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) =/= (/) )
141	57, 140	exlimddv 1863	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( z C_ I /\ z e. Fin ) ) -> ( U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) i^i |^|_ y e. z X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) =/= (/) )
142	26, 8, 31, 141	cmpfiiin 37260	. . . . 5 |- ( ph -> ( U. ( Xt_ ` ( x e. I |-> J ) ) i^i |^|_ y e. I X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) =/= (/) )
143	25, 142	eqnetrd 2861	. . . 4 |- ( ph -> ( X_ x e. I U. J i^i |^|_ y e. I X_ x e. I if ( x = y , C , U. J ) ) =/= (/) )
144	7, 143	eqnetrd 2861	. . 3 |- ( ph -> X_ x e. I C =/= (/) )
145		n0 3931	. . 3 |- ( X_ x e. I C =/= (/) <-> E. y y e. X_ x e. I C )
146	144, 145	sylib 208	. 2 |- ( ph -> E. y y e. X_ x e. I C )
147		elixp2 7912	. . . . . 6 |- ( y e. X_ x e. I C <-> ( y e. _V /\ y Fn I /\ A. x e. I ( y ` x ) e. C ) )
148	147	simp3bi 1078	. . . . 5 |- ( y e. X_ x e. I C -> A. x e. I ( y ` x ) e. C )
149		f1ocnv 6149	. . . . . . . 8 |- ( B : S -1-1-onto-> C -> `' B : C -1-1-onto-> S )
150		f1of 6137	. . . . . . . 8 |- ( `' B : C -1-1-onto-> S -> `' B : C --> S )
151		ffvelrn 6357	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' B : C --> S /\ ( y ` x ) e. C ) -> ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S )
152	151	ex 450	. . . . . . . 8 |- ( `' B : C --> S -> ( ( y ` x ) e. C -> ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S ) )
153	33, 149, 150, 152	4syl 19	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. I ) -> ( ( y ` x ) e. C -> ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S ) )
154	153	ralimdva 2962	. . . . . 6 |- ( ph -> ( A. x e. I ( y ` x ) e. C -> A. x e. I ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S ) )
155	154	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ph /\ A. x e. I ( y ` x ) e. C ) -> A. x e. I ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S )
156	148, 155	sylan2 491	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X_ x e. I C ) -> A. x e. I ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S )
157		mptelixpg 7945	. . . . . 6 |- ( I e. _V -> ( ( x e. I |-> ( `' B ` ( y ` x ) ) ) e. X_ x e. I S <-> A. x e. I ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S ) )
158	20, 157	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( x e. I |-> ( `' B ` ( y ` x ) ) ) e. X_ x e. I S <-> A. x e. I ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S ) )
159	158	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ y e. X_ x e. I C ) -> ( ( x e. I |-> ( `' B ` ( y ` x ) ) ) e. X_ x e. I S <-> A. x e. I ( `' B ` ( y ` x ) ) e. S ) )
160	156, 159	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ph /\ y e. X_ x e. I C ) -> ( x e. I |-> ( `' B ` ( y ` x ) ) ) e. X_ x e. I S )
161		ne0i 3921	. . 3 |- ( ( x e. I |-> ( `' B ` ( y ` x ) ) ) e. X_ x e. I S -> X_ x e. I S =/= (/) )
162	160, 161	syl 17	. 2 |- ( ( ph /\ y e. X_ x e. I C ) -> X_ x e. I S =/= (/) )
163	146, 162	exlimddv 1863	1 |- ( ph -> X_ x e. I S =/= (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ifcif 4086   U.cuni 4436   |^|_ciin 4521   |-> cmpt 4729   `'ccnv 5113   "cima 5117   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -onto->wfo 5886   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888   X_cixp 7908   Fincfn 7955   Xt_cpt 16099   Topctop 20698   Clsdccld 20820   Compccmp 21189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-top 20699  df-bases 20750  df-cld 20823  df-cmp 21190

This theorem is referenced by:  kelac2  37635