Theorem dfac21 37636

Description: Tychonoff's theorem is a choice equivalent. Definition AC21 of Schechter p. 461. (Contributed by Stefan O'Rear, 22-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
dfac21	|- (CHOICE <-> A. f ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) )

Proof of Theorem dfac21

Dummy variables g y x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 3203	. . . . . . 7 |- f e. _V
2	1	dmex 7099	. . . . . 6 |- dom f e. _V
3	2	a1i 11	. . . . 5 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> dom f e. _V )
4		simpr 477	. . . . 5 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> f : dom f --> Comp )
5		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( Xt_ ` f ) e. _V
6	5	uniex 6953	. . . . . . 7 |- U. ( Xt_ ` f ) e. _V
7		acufl 21721	. . . . . . . 8 |- (CHOICE -> UFL = _V )
8	7	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> UFL = _V )
9	6, 8	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> U. ( Xt_ ` f ) e. UFL )
10		simpl 473	. . . . . . . 8 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> CHOICE )
11		dfac10 8959	. . . . . . . 8 |- (CHOICE <-> dom card = _V )
12	10, 11	sylib 208	. . . . . . 7 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> dom card = _V )
13	6, 12	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> U. ( Xt_ ` f ) e. dom card )
14	9, 13	elind 3798	. . . . 5 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> U. ( Xt_ ` f ) e. (UFL i^i dom card ) )
15		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( Xt_ ` f ) = ( Xt_ ` f )
16		eqid 2622	. . . . . 6 |- U. ( Xt_ ` f ) = U. ( Xt_ ` f )
17	15, 16	ptcmpg 21861	. . . . 5 |- ( ( dom f e. _V /\ f : dom f --> Comp /\ U. ( Xt_ ` f ) e. (UFL i^i dom card ) ) -> ( Xt_ ` f ) e. Comp )
18	3, 4, 14, 17	syl3anc 1326	. . . 4 |- ( (CHOICE /\ f : dom f --> Comp ) -> ( Xt_ ` f ) e. Comp )
19	18	ex 450	. . 3 |- (CHOICE -> ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) )
20	19	alrimiv 1855	. 2 |- (CHOICE -> A. f ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) )
21		fvex 6201	. . . . . . . . . 10 |- ( g ` y ) e. _V
22		kelac2lem 37634	. . . . . . . . . 10 |- ( ( g ` y ) e. _V -> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) e. Comp )
23	21, 22	mp1i 13	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ y e. dom g ) -> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) e. Comp )
24		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) = ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) )
25	23, 24	fmptd 6385	. . . . . . . 8 |- ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) : dom g --> Comp )
26		ffdm 6062	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) : dom g --> Comp -> ( ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) : dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) --> Comp /\ dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) C_ dom g ) )
27	25, 26	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> ( ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) : dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) --> Comp /\ dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) C_ dom g ) )
28	27	simpld 475	. . . . . 6 |- ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) : dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) --> Comp )
29		vex 3203	. . . . . . . . 9 |- g e. _V
30	29	dmex 7099	. . . . . . . 8 |- dom g e. _V
31	30	mptex 6486	. . . . . . 7 |- ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) e. _V
32		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) -> f = ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) )
33		dmeq 5324	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) -> dom f = dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) )
34	32, 33	feq12d 6033	. . . . . . . 8 |- ( f = ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) -> ( f : dom f --> Comp <-> ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) : dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) --> Comp ) )
35		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( f = ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) -> ( Xt_ ` f ) = ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) )
36	35	eleq1d 2686	. . . . . . . 8 |- ( f = ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) -> ( ( Xt_ ` f ) e. Comp <-> ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp ) )
37	34, 36	imbi12d 334	. . . . . . 7 |- ( f = ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) -> ( ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) <-> ( ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) : dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) --> Comp -> ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp ) ) )
38	31, 37	spcv 3299	. . . . . 6 |- ( A. f ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) -> ( ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) : dom ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) --> Comp -> ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp ) )
39	28, 38	syl5com 31	. . . . 5 |- ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> ( A. f ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) -> ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp ) )
40		fvex 6201	. . . . . . . 8 |- ( g ` x ) e. _V
41	40	a1i 11	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp ) /\ x e. dom g ) -> ( g ` x ) e. _V )
42		df-nel 2898	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) e/ ran g <-> -. (/) e. ran g )
43	42	biimpi 206	. . . . . . . . . 10 |- ( (/) e/ ran g -> -. (/) e. ran g )
44	43	ad2antlr 763	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ x e. dom g ) -> -. (/) e. ran g )
45		fvelrn 6352	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( Fun g /\ x e. dom g ) -> ( g ` x ) e. ran g )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ x e. dom g ) -> ( g ` x ) e. ran g )
47		eleq1 2689	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( g ` x ) = (/) -> ( ( g ` x ) e. ran g <-> (/) e. ran g ) )
48	46, 47	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ x e. dom g ) -> ( ( g ` x ) = (/) -> (/) e. ran g ) )
49	48	necon3bd 2808	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ x e. dom g ) -> ( -. (/) e. ran g -> ( g ` x ) =/= (/) ) )
50	44, 49	mpd 15	. . . . . . . 8 |- ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ x e. dom g ) -> ( g ` x ) =/= (/) )
51	50	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp ) /\ x e. dom g ) -> ( g ` x ) =/= (/) )
52		fveq2 6191	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> ( g ` y ) = ( g ` x ) )
53	52	unieqd 4446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = x -> U. ( g ` y ) = U. ( g ` x ) )
54	53	pweqd 4163	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( y = x -> ~P U. ( g ` y ) = ~P U. ( g ` x ) )
55	54	sneqd 4189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = x -> { ~P U. ( g ` y ) } = { ~P U. ( g ` x ) } )
56	52, 55	preq12d 4276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = x -> { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } = { ( g ` x ) , { ~P U. ( g ` x ) } } )
57	56	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . . 12 |- ( y = x -> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) = ( topGen ` { ( g ` x ) , { ~P U. ( g ` x ) } } ) )
58	57	cbvmptv 4750	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) = ( x e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` x ) , { ~P U. ( g ` x ) } } ) )
59	58	fveq2i 6194	. . . . . . . . . 10 |- ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) = ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` x ) , { ~P U. ( g ` x ) } } ) ) )
60	59	eleq1i 2692	. . . . . . . . 9 |- ( ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp <-> ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` x ) , { ~P U. ( g ` x ) } } ) ) ) e. Comp )
61	60	biimpi 206	. . . . . . . 8 |- ( ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp -> ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` x ) , { ~P U. ( g ` x ) } } ) ) ) e. Comp )
62	61	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp ) -> ( Xt_ ` ( x e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` x ) , { ~P U. ( g ` x ) } } ) ) ) e. Comp )
63	41, 51, 62	kelac2 37635	. . . . . 6 |- ( ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) /\ ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp ) -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) )
64	63	ex 450	. . . . 5 |- ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> ( ( Xt_ ` ( y e. dom g |-> ( topGen ` { ( g ` y ) , { ~P U. ( g ` y ) } } ) ) ) e. Comp -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) ) )
65	39, 64	syldc 48	. . . 4 |- ( A. f ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) -> ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) ) )
66	65	alrimiv 1855	. . 3 |- ( A. f ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) -> A. g ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) ) )
67		dfac9 8958	. . 3 |- (CHOICE <-> A. g ( ( Fun g /\ (/) e/ ran g ) -> X_ x e. dom g ( g ` x ) =/= (/) ) )
68	66, 67	sylibr 224	. 2 |- ( A. f ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) -> CHOICE )
69	20, 68	impbii 199	1 |- (CHOICE <-> A. f ( f : dom f --> Comp -> ( Xt_ ` f ) e. Comp ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   A.wal 1481   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   e/ wnel 2897   _Vcvv 3200   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   {csn 4177   {cpr 4179   U.cuni 4436   |-> cmpt 4729   dom cdm 5114   ran crn 5115   Fun wfun 5882   -->wf 5884   ` cfv 5888   X_cixp 7908   cardccrd 8761  CHOICEwac 8938   topGenctg 16098   Xt_cpt 16099   Compccmp 21189  UFLcufl 21704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-rpss 6937  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-er 7742  df-map 7859  df-ixp 7909  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-fi 8317  df-wdom 8464  df-card 8765  df-acn 8768  df-ac 8939  df-cda 8990  df-topgen 16104  df-pt 16105  df-fbas 19743  df-fg 19744  df-top 20699  df-topon 20716  df-bases 20750  df-cld 20823  df-ntr 20824  df-cls 20825  df-nei 20902  df-cmp 21190  df-fil 21650  df-ufil 21705  df-ufl 21706  df-flim 21743  df-fcls 21745

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