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Theorem leexp2r 12918
Description: Weak ordering relationship for exponentiation. (Contributed by Paul Chapman, 14-Jan-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
leexp2r |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) )
Proof of Theorem leexp2r
Dummy variables j k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( j = M -> ( A ^ j ) = ( A ^ M ) )
21breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( j = M -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) )
32imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( j = M -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
4 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( j = k -> ( A ^ j ) = ( A ^ k ) )
54breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( j = k -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) )
65imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( j = k -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
7 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( A ^ j ) = ( A ^ ( k + 1 ) ) )
87breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) )
98imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( j = ( k + 1 ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
10 oveq2 6658 . . . . . . . 8 |- ( j = N -> ( A ^ j ) = ( A ^ N ) )
1110breq1d 4663 . . . . . . 7 |- ( j = N -> ( ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) <-> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) )
1211imbi2d 330 . . . . . 6 |- ( j = N -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ j ) <_ ( A ^ M ) ) <-> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
13 reexpcl 12877 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( A ^ M ) e. RR )
1413adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
1514leidd 10594 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) )
1615a1i 11 . . . . . 6 |- ( M e. ZZ -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ M ) <_ ( A ^ M ) ) )
17 simprll 802 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A e. RR )
18 1red 10055 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 1 e. RR )
19 simprlr 803 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> M e. NN0 )
20 simpl 473 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> k e. ( ZZ>= ` M ) )
21 eluznn0 11757 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( M e. NN0 /\ k e. ( ZZ>= ` M ) ) -> k e. NN0 )
2219, 20, 21syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> k e. NN0 )
23 reexpcl 12877 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ k ) e. RR )
2417, 22, 23syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. RR )
25 simprrl 804 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 0 <_ A )
26 expge0 12896 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ k e. NN0 /\ 0 <_ A ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
2717, 22, 25, 26syl3anc 1326 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> 0 <_ ( A ^ k ) )
28 simprrr 805 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A <_ 1 )
2917, 18, 24, 27, 28lemul2ad 10964 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) x. A ) <_ ( ( A ^ k ) x. 1 ) )
3017recnd 10068 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> A e. CC )
31 expp1 12867 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. CC /\ k e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
3230, 22, 31syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) = ( ( A ^ k ) x. A ) )
3324recnd 10068 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) e. CC )
3433mulid1d 10057 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) x. 1 ) = ( A ^ k ) )
3534eqcomd 2628 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ k ) = ( ( A ^ k ) x. 1 ) )
3629, 32, 353brtr4d 4685 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) )
37 peano2nn0 11333 . . . . . . . . . . . 12 |- ( k e. NN0 -> ( k + 1 ) e. NN0 )
3822, 37syl 17 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( k + 1 ) e. NN0 )
39 reexpcl 12877 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ ( k + 1 ) e. NN0 ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR )
4017, 38, 39syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR )
4113ad2antrl 764 . . . . . . . . . 10 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( A ^ M ) e. RR )
42 letr 10131 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) e. RR /\ ( A ^ k ) e. RR /\ ( A ^ M ) e. RR ) -> ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) /\ ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) )
4340, 24, 41, 42syl3anc 1326 . . . . . . . . 9 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ k ) /\ ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) )
4436, 43mpand 711 . . . . . . . 8 |- ( ( k e. ( ZZ>= ` M ) /\ ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) )
4544ex 450 . . . . . . 7 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
4645a2d 29 . . . . . 6 |- ( k e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ k ) <_ ( A ^ M ) ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ ( k + 1 ) ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
473, 6, 9, 12, 16, 46uzind4 11746 . . . . 5 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) )
4847expd 452 . . . 4 |- ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
4948com12 32 . . 3 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 ) -> ( N e. ( ZZ>= ` M ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) ) )
50493impia 1261 . 2 |- ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) -> ( ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) ) )
5150imp 445 1 |- ( ( ( A e. RR /\ M e. NN0 /\ N e. ( ZZ>= ` M ) ) /\ ( 0 <_ A /\ A <_ 1 ) ) -> ( A ^ N ) <_ ( A ^ M ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   CCcc 9934   RRcr 9935   0cc0 9936   1c1 9937   + caddc 9939   x. cmul 9941   <_ cle 10075   NN0cn0 11292   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687   ^cexp 12860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688  df-seq 12802  df-exp 12861
This theorem is referenced by:  exple1  12920  leexp2rd  13042
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