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Theorem lfinun 21328
Description: Adding a finite set preserves locally finite covers. (Contributed by Thierry Arnoux, 31-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
lfinun |- ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin /\ U. B C_ U. J ) -> ( A u. B ) e. ( LocFin ` J ) )
Proof of Theorem lfinun
Dummy variables n s x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 locfintop 21324 . . . . 5 |- ( A e. ( LocFin ` J ) -> J e. Top )
21ad2antrr 762 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) -> J e. Top )
3 ssequn2 3786 . . . . . . . 8 |- ( U. B C_ U. J <-> ( U. J u. U. B ) = U. J )
43biimpi 206 . . . . . . 7 |- ( U. B C_ U. J -> ( U. J u. U. B ) = U. J )
54adantl 482 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) -> ( U. J u. U. B ) = U. J )
6 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- U. J = U. J
7 eqid 2622 . . . . . . . . 9 |- U. A = U. A
86, 7locfinbas 21325 . . . . . . . 8 |- ( A e. ( LocFin ` J ) -> U. J = U. A )
98ad2antrr 762 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) -> U. J = U. A )
109uneq1d 3766 . . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) -> ( U. J u. U. B ) = ( U. A u. U. B ) )
115, 10eqtr3d 2658 . . . . 5 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) -> U. J = ( U. A u. U. B ) )
12 uniun 4456 . . . . 5 |- U. ( A u. B ) = ( U. A u. U. B )
1311, 12syl6eqr 2674 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) -> U. J = U. ( A u. B ) )
146locfinnei 21326 . . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ x e. U. J ) -> E. n e. J ( x e. n /\ { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) )
1514adantlr 751 . . . . . . 7 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ x e. U. J ) -> E. n e. J ( x e. n /\ { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) )
1615adantlr 751 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) /\ x e. U. J ) -> E. n e. J ( x e. n /\ { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) )
17 simpr 477 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) -> { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin )
18 rabfi 8185 . . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. Fin -> { s e. B | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin )
1918ad2antlr 763 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) -> { s e. B | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin )
20 rabun2 3906 . . . . . . . . . . . 12 |- { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } = ( { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } u. { s e. B | ( s i^i n ) =/= (/) } )
21 unfi 8227 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin /\ { s e. B | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } u. { s e. B | ( s i^i n ) =/= (/) } ) e. Fin )
2220, 21syl5eqel 2705 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin /\ { s e. B | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) -> { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin )
2317, 19, 22syl2anc 693 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) -> { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin )
2423ex 450 . . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) -> ( { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin -> { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) )
2524ad2antrr 762 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) /\ x e. U. J ) -> ( { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin -> { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) )
2625anim2d 589 . . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) /\ x e. U. J ) -> ( ( x e. n /\ { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) -> ( x e. n /\ { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
2726reximdv 3016 . . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) /\ x e. U. J ) -> ( E. n e. J ( x e. n /\ { s e. A | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) -> E. n e. J ( x e. n /\ { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
2816, 27mpd 15 . . . . 5 |- ( ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) /\ x e. U. J ) -> E. n e. J ( x e. n /\ { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) )
2928ralrimiva 2966 . . . 4 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) -> A. x e. U. J E. n e. J ( x e. n /\ { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) )
302, 13, 293jca 1242 . . 3 |- ( ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin ) /\ U. B C_ U. J ) -> ( J e. Top /\ U. J = U. ( A u. B ) /\ A. x e. U. J E. n e. J ( x e. n /\ { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
31303impa 1259 . 2 |- ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin /\ U. B C_ U. J ) -> ( J e. Top /\ U. J = U. ( A u. B ) /\ A. x e. U. J E. n e. J ( x e. n /\ { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
32 eqid 2622 . . 3 |- U. ( A u. B ) = U. ( A u. B )
336, 32islocfin 21320 . 2 |- ( ( A u. B ) e. ( LocFin ` J ) <-> ( J e. Top /\ U. J = U. ( A u. B ) /\ A. x e. U. J E. n e. J ( x e. n /\ { s e. ( A u. B ) | ( s i^i n ) =/= (/) } e. Fin ) ) )
3431, 33sylibr 224 1 |- ( ( A e. ( LocFin ` J ) /\ B e. Fin /\ U. B C_ U. J ) -> ( A u. B ) e. ( LocFin ` J ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   E.wrex 2913   {crab 2916   u. cun 3572   i^i cin 3573   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   ` cfv 5888   Fincfn 7955   Topctop 20698   LocFinclocfin 21307
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959  df-top 20699  df-locfin 21310
This theorem is referenced by:  locfinref  29908
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