Theorem rabfi 8185

Description: A restricted class built from a finite set is finite. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Feb-2017.)

Assertion

Ref	Expression
rabfi	|- ( A e. Fin -> { x e. A | ph } e. Fin )

Distinct variable group:   x, A

Allowed substitution hint:   ph( x)

Proof of Theorem rabfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfrab3 3902	. 2 |- { x e. A | ph } = ( A i^i { x | ph } )
2		infi 8184	. 2 |- ( A e. Fin -> ( A i^i { x | ph } ) e. Fin )
3	1, 2	syl5eqel 2705	1 |- ( A e. Fin -> { x e. A | ph } e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   {cab 2608   {crab 2916   i^i cin 3573   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  sygbasnfpfi  17932  finptfin  21321  lfinun  21328  numedglnl  26039  usgrfilem  26219  nbusgrfi  26276  cusgrsizeindslem  26347  cusgrsizeinds  26348  vtxdgfival  26365  vtxdgfisnn0  26371  vtxdginducedm1fi  26440  finsumvtxdg2ssteplem4  26444  vtxdgoddnumeven  26449  hashwwlksnext  26809  wwlksnonfi  26816  rusgrnumwwlks  26869  clwwlknclwwlkdifnum  26874  konigsberglem5  27118  fusgreghash2wsp  27202  numclwwlkffin  27214  numclwwlk3lem  27241  numclwwlk4  27244  reprfi  30694  phpreu  33393  poimirlem25  33434  poimirlem26  33435  poimirlem27  33436  poimirlem28  33437  poimirlem31  33440  poimirlem32  33441  sstotbnd3  33575  hoidmvlelem2  40810