Theorem lmhmlmod1 19033

Description: A homomorphism of left modules has a left module as domain. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lmhmlmod1	|- ( F e. ( S LMHom T ) -> S e. LMod )

Proof of Theorem lmhmlmod1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` S ) = (Scalar ` S )
2		eqid 2622	. . 3 |- (Scalar ` T ) = (Scalar ` T )
3	1, 2	lmhmlem 19029	. 2 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F e. ( S GrpHom T ) /\ (Scalar ` T ) = (Scalar ` S ) ) ) )
4	3	simplld 791	1 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> S e. LMod )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650  Scalarcsca 15944   GrpHom cghm 17657   LModclmod 18863   LMHom clmhm 19019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-nul 3916  df-if 4087  df-sn 4178  df-pr 4180  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-id 5024  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-lmhm 19022

This theorem is referenced by:  islmhm2  19038  lmhmco  19043  lmhmplusg  19044  lmhmvsca  19045  lmhmf1o  19046  lmhmima  19047  lmhmpreima  19048  lmhmlsp  19049  lmhmrnlss  19050  reslmhm  19052  reslmhm2  19053  reslmhm2b  19054  lmhmeql  19055  lspextmo  19056  islmim  19062  lmiclcl  19070  lindfmm  20166  lindsmm  20167  lmhmclm  22887  kercvrlsm  37653  lmhmfgima  37654  lmhmfgsplit  37656  lmhmlnmsplit  37657