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Theorem islmhm2 19038
Description: A one-equation proof of linearity of a left module homomorphism, similar to df-lss 18933. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islmhm2.b |- B = ( Base ` S )
islmhm2.c |- C = ( Base ` T )
islmhm2.k |- K = (Scalar ` S )
islmhm2.l |- L = (Scalar ` T )
islmhm2.e |- E = ( Base ` K )
islmhm2.p |- .+ = ( +g ` S )
islmhm2.q |- .+^ = ( +g ` T )
islmhm2.m |- .x. = ( .s ` S )
islmhm2.n |- .X. = ( .s ` T )
Assertion
Ref Expression
islmhm2 |- ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) -> ( F e. ( S LMHom T ) <-> ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) )
Distinct variable groups:   x, y, z, .+^   x, B, y, z   x, C, y, z   x, E, y, z   x, F, y, z   x, .+ , y, z   x, K, y, z   x, L, y, z   x, S, y, z   x, T, y, z   x, .x. , z   x, .X. , z
Allowed substitution hints:   .x. ( y)   .X. ( y)
Proof of Theorem islmhm2
StepHypRef Expression
1 islmhm2.b . . . . 5 |- B = ( Base ` S )
2 islmhm2.c . . . . 5 |- C = ( Base ` T )
31, 2lmhmf 19034 . . . 4 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F : B --> C )
4 islmhm2.k . . . . 5 |- K = (Scalar ` S )
5 islmhm2.l . . . . 5 |- L = (Scalar ` T )
64, 5lmhmsca 19030 . . . 4 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> L = K )
7 lmghm 19031 . . . . . . . 8 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
87adantr 481 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
9 lmhmlmod1 19033 . . . . . . . . 9 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> S e. LMod )
109adantr 481 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> S e. LMod )
11 simpr1 1067 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> x e. E )
12 simpr2 1068 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
13 islmhm2.m . . . . . . . . 9 |- .x. = ( .s ` S )
14 islmhm2.e . . . . . . . . 9 |- E = ( Base ` K )
151, 4, 13, 14lmodvscl 18880 . . . . . . . 8 |- ( ( S e. LMod /\ x e. E /\ y e. B ) -> ( x .x. y ) e. B )
1610, 11, 12, 15syl3anc 1326 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
17 simpr3 1069 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> z e. B )
18 islmhm2.p . . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` S )
19 islmhm2.q . . . . . . . 8 |- .+^ = ( +g ` T )
201, 18, 19ghmlin 17665 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ ( x .x. y ) e. B /\ z e. B ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) .+^ ( F ` z ) ) )
218, 16, 17, 20syl3anc 1326 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) .+^ ( F ` z ) ) )
22 islmhm2.n . . . . . . . . 9 |- .X. = ( .s ` T )
234, 14, 1, 13, 22lmhmlin 19035 . . . . . . . 8 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ x e. E /\ y e. B ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) )
24233adant3r3 1276 . . . . . . 7 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) )
2524oveq1d 6665 . . . . . 6 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) .+^ ( F ` z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) )
2621, 25eqtrd 2656 . . . . 5 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ ( x e. E /\ y e. B /\ z e. B ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) )
2726ralrimivvva 2972 . . . 4 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) )
283, 6, 273jca 1242 . . 3 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
2928adantl 482 . 2 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ F e. ( S LMHom T ) ) -> ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
30 lmodgrp 18870 . . . . . 6 |- ( S e. LMod -> S e. Grp )
31 lmodgrp 18870 . . . . . 6 |- ( T e. LMod -> T e. Grp )
3230, 31anim12i 590 . . . . 5 |- ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
3332adantr 481 . . . 4 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> ( S e. Grp /\ T e. Grp ) )
34 simpr1 1067 . . . . 5 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> F : B --> C )
354lmodring 18871 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. LMod -> K e. Ring )
3635ad2antrr 762 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) -> K e. Ring )
37 eqid 2622 . . . . . . . . . 10 |- ( 1r ` K ) = ( 1r ` K )
3814, 37ringidcl 18568 . . . . . . . . 9 |- ( K e. Ring -> ( 1r ` K ) e. E )
39 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = ( 1r ` K ) -> ( x .x. y ) = ( ( 1r ` K ) .x. y ) )
4039oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1r ` K ) -> ( ( x .x. y ) .+ z ) = ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) )
4140fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1r ` K ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( F ` ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) ) )
42 oveq1 6657 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = ( 1r ` K ) -> ( x .X. ( F ` y ) ) = ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) )
4342oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( 1r ` K ) -> ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) = ( ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) )
4441, 43eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( 1r ` K ) -> ( ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) <-> ( F ` ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) ) = ( ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
45442ralbidv 2989 . . . . . . . . . 10 |- ( x = ( 1r ` K ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) ) = ( ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
4645rspcv 3305 . . . . . . . . 9 |- ( ( 1r ` K ) e. E -> ( A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) ) = ( ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
4736, 38, 463syl 18 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) -> ( A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) ) = ( ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
48 simplll 798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> S e. LMod )
49 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> y e. B )
501, 4, 13, 37lmodvs1 18891 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( S e. LMod /\ y e. B ) -> ( ( 1r ` K ) .x. y ) = y )
5148, 49, 50syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( 1r ` K ) .x. y ) = y )
5251oveq1d 6665 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) = ( y .+ z ) )
5352fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( F ` ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
54 simplrr 801 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> L = K )
5554fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( 1r ` L ) = ( 1r ` K ) )
5655oveq1d 6665 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( 1r ` L ) .X. ( F ` y ) ) = ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) )
57 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> T e. LMod )
58 simplrl 800 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> F : B --> C )
5958, 49ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( F ` y ) e. C )
60 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( 1r ` L ) = ( 1r ` L )
612, 5, 22, 60lmodvs1 18891 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. LMod /\ ( F ` y ) e. C ) -> ( ( 1r ` L ) .X. ( F ` y ) ) = ( F ` y ) )
6257, 59, 61syl2anc 693 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( 1r ` L ) .X. ( F ` y ) ) = ( F ` y ) )
6356, 62eqtr3d 2658 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) = ( F ` y ) )
6463oveq1d 6665 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) = ( ( F ` y ) .+^ ( F ` z ) ) )
6553, 64eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) /\ ( y e. B /\ z e. B ) ) -> ( ( F ` ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) ) = ( ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) <-> ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
66652ralbidva 2988 . . . . . . . 8 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) -> ( A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( ( 1r ` K ) .x. y ) .+ z ) ) = ( ( ( 1r ` K ) .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) <-> A. y e. B A. z e. B ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
6747, 66sylibd 229 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K ) ) -> ( A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
6867exp32 631 . . . . . 6 |- ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) -> ( F : B --> C -> ( L = K -> ( A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) ) )
69683imp2 1282 . . . . 5 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> A. y e. B A. z e. B ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+^ ( F ` z ) ) )
7034, 69jca 554 . . . 4 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> ( F : B --> C /\ A. y e. B A. z e. B ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+^ ( F ` z ) ) ) )
711, 2, 18, 19isghm 17660 . . . 4 |- ( F e. ( S GrpHom T ) <-> ( ( S e. Grp /\ T e. Grp ) /\ ( F : B --> C /\ A. y e. B A. z e. B ( F ` ( y .+ z ) ) = ( ( F ` y ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) )
7233, 70, 71sylanbrc 698 . . 3 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
73 simpr2 1068 . . 3 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> L = K )
74 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( 0g ` S ) = ( 0g ` S )
75 eqid 2622 . . . . . 6 |- ( 0g ` T ) = ( 0g ` T )
7674, 75ghmid 17666 . . . . 5 |- ( F e. ( S GrpHom T ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
7772, 76syl 17 . . . 4 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
7830ad3antrrr 766 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> S e. Grp )
791, 74grpidcl 17450 . . . . . . . . . 10 |- ( S e. Grp -> ( 0g ` S ) e. B )
80 oveq2 6658 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( ( x .x. y ) .+ z ) = ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) )
8180fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) ) )
82 fveq2 6191 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( 0g ` S ) ) )
8382oveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` ( 0g ` S ) ) ) )
8481, 83eqeq12d 2637 . . . . . . . . . . 11 |- ( z = ( 0g ` S ) -> ( ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) <-> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` ( 0g ` S ) ) ) ) )
8584rspcv 3305 . . . . . . . . . 10 |- ( ( 0g ` S ) e. B -> ( A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` ( 0g ` S ) ) ) ) )
8678, 79, 853syl 18 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` ( 0g ` S ) ) ) ) )
87 simplll 798 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> S e. LMod )
88 simprl 794 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> x e. E )
89 simprr 796 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> y e. B )
9087, 88, 89, 15syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( x .x. y ) e. B )
911, 18, 74grprid 17453 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( S e. Grp /\ ( x .x. y ) e. B ) -> ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) = ( x .x. y ) )
9278, 90, 91syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) = ( x .x. y ) )
9392fveq2d 6195 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
94 simplr3 1105 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) )
9594oveq2d 6666 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` ( 0g ` S ) ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( 0g ` T ) ) )
96 simpllr 799 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> T e. LMod )
9796, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> T e. Grp )
98 simplr2 1104 . . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> L = K )
9998fveq2d 6195 . . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( Base ` L ) = ( Base ` K ) )
10099, 14syl6eqr 2674 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( Base ` L ) = E )
10188, 100eleqtrrd 2704 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> x e. ( Base ` L ) )
102 simplr1 1103 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> F : B --> C )
103102, 89ffvelrnd 6360 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( F ` y ) e. C )
104 eqid 2622 . . . . . . . . . . . . . 14 |- ( Base ` L ) = ( Base ` L )
1052, 5, 22, 104lmodvscl 18880 . . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( T e. LMod /\ x e. ( Base ` L ) /\ ( F ` y ) e. C ) -> ( x .X. ( F ` y ) ) e. C )
10696, 101, 103, 105syl3anc 1326 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( x .X. ( F ` y ) ) e. C )
1072, 19, 75grprid 17453 . . . . . . . . . . . 12 |- ( ( T e. Grp /\ ( x .X. ( F ` y ) ) e. C ) -> ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( 0g ` T ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) )
10897, 106, 107syl2anc 693 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( 0g ` T ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) )
10995, 108eqtrd 2656 . . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` ( 0g ` S ) ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) )
11093, 109eqeq12d 2637 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( 0g ` S ) ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` ( 0g ` S ) ) ) <-> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) ) )
11186, 110sylibd 229 . . . . . . . 8 |- ( ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) /\ ( x e. E /\ y e. B ) ) -> ( A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) ) )
112111ralimdvva 2964 . . . . . . 7 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) ) ) -> ( A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> A. x e. E A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) ) )
1131123exp2 1285 . . . . . 6 |- ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) -> ( F : B --> C -> ( L = K -> ( ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) -> ( A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> A. x e. E A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) ) ) ) ) )
114113com45 97 . . . . 5 |- ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) -> ( F : B --> C -> ( L = K -> ( A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) -> ( ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) -> A. x e. E A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) ) ) ) ) )
1151143imp2 1282 . . . 4 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> ( ( F ` ( 0g ` S ) ) = ( 0g ` T ) -> A. x e. E A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) ) )
11677, 115mpd 15 . . 3 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> A. x e. E A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) )
1174, 5, 14, 1, 13, 22islmhm3 19028 . . . 4 |- ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) -> ( F e. ( S LMHom T ) <-> ( F e. ( S GrpHom T ) /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) ) ) )
118117adantr 481 . . 3 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> ( F e. ( S LMHom T ) <-> ( F e. ( S GrpHom T ) /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B ( F ` ( x .x. y ) ) = ( x .X. ( F ` y ) ) ) ) )
11972, 73, 116, 118mpbir3and 1245 . 2 |- ( ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) /\ ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) -> F e. ( S LMHom T ) )
12029, 119impbida 877 1 |- ( ( S e. LMod /\ T e. LMod ) -> ( F e. ( S LMHom T ) <-> ( F : B --> C /\ L = K /\ A. x e. E A. y e. B A. z e. B ( F ` ( ( x .x. y ) .+ z ) ) = ( ( x .X. ( F ` y ) ) .+^ ( F ` z ) ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   GrpHom cghm 17657   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LMHom clmhm 19019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lmhm 19022
This theorem is referenced by:  isphld  19999
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