Theorem lmhmeql 19055

Description: The equalizer of two module homomorphisms is a subspace. (Contributed by Stefan O'Rear, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmhmeql.u	|- U = ( LSubSp ` S )

Assertion

Ref	Expression
lmhmeql	|- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. U )

Proof of Theorem lmhmeql

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmghm 19031	. . 3 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F e. ( S GrpHom T ) )
2		lmghm 19031	. . 3 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> G e. ( S GrpHom T ) )
3		ghmeql 17683	. . 3 |- ( ( F e. ( S GrpHom T ) /\ G e. ( S GrpHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. (SubGrp ` S ) )
4	1, 2, 3	syl2an 494	. 2 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. (SubGrp ` S ) )
5		lmhmlmod1 19033	. . . . . . . . . 10 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> S e. LMod )
6	5	adantr 481	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> S e. LMod )
7	6	ad2antrr 762	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> S e. LMod )
8		simplr 792	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) )
9		simprl 794	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> y e. ( Base ` S ) )
10		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` S ) = ( Base ` S )
11		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- (Scalar ` S ) = (Scalar ` S )
12		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( .s ` S ) = ( .s ` S )
13		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` (Scalar ` S ) ) = ( Base ` (Scalar ` S ) )
14	10, 11, 12, 13	lmodvscl 18880	. . . . . . . 8 |- ( ( S e. LMod /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
15	7, 8, 9, 14	syl3anc 1326	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. ( Base ` S ) )
16		oveq2 6658	. . . . . . . . 9 |- ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( .s ` T ) ( F ` y ) ) = ( x ( .s ` T ) ( G ` y ) ) )
17	16	ad2antll 765	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( .s ` T ) ( F ` y ) ) = ( x ( .s ` T ) ( G ` y ) ) )
18		simplll 798	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> F e. ( S LMHom T ) )
19		eqid 2622	. . . . . . . . . 10 |- ( .s ` T ) = ( .s ` T )
20	11, 13, 10, 12, 19	lmhmlin 19035	. . . . . . . . 9 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( F ` ( x ( .s ` S ) y ) ) = ( x ( .s ` T ) ( F ` y ) ) )
21	18, 8, 9, 20	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( .s ` S ) y ) ) = ( x ( .s ` T ) ( F ` y ) ) )
22		simpllr 799	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> G e. ( S LMHom T ) )
23	11, 13, 10, 12, 19	lmhmlin 19035	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( G ` ( x ( .s ` S ) y ) ) = ( x ( .s ` T ) ( G ` y ) ) )
24	22, 8, 9, 23	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( G ` ( x ( .s ` S ) y ) ) = ( x ( .s ` T ) ( G ` y ) ) )
25	17, 21, 24	3eqtr4d 2666	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( F ` ( x ( .s ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( .s ` S ) y ) ) )
26		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x ( .s ` S ) y ) -> ( F ` z ) = ( F ` ( x ( .s ` S ) y ) ) )
27		fveq2 6191	. . . . . . . . 9 |- ( z = ( x ( .s ` S ) y ) -> ( G ` z ) = ( G ` ( x ( .s ` S ) y ) ) )
28	26, 27	eqeq12d 2637	. . . . . . . 8 |- ( z = ( x ( .s ` S ) y ) -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` ( x ( .s ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( .s ` S ) y ) ) ) )
29	28	elrab 3363	. . . . . . 7 |- ( ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> ( ( x ( .s ` S ) y ) e. ( Base ` S ) /\ ( F ` ( x ( .s ` S ) y ) ) = ( G ` ( x ( .s ` S ) y ) ) ) )
30	15, 25, 29	sylanbrc 698	. . . . . 6 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ ( y e. ( Base ` S ) /\ ( F ` y ) = ( G ` y ) ) ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
31	30	expr 643	. . . . 5 |- ( ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) /\ y e. ( Base ` S ) ) -> ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
32	31	ralrimiva 2966	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) -> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
33		eqid 2622	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` T ) = ( Base ` T )
34	10, 33	lmhmf 19034	. . . . . . . 8 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
35		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( F : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> F Fn ( Base ` S ) )
36	34, 35	syl 17	. . . . . . 7 |- ( F e. ( S LMHom T ) -> F Fn ( Base ` S ) )
37	10, 33	lmhmf 19034	. . . . . . . 8 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) )
38		ffn 6045	. . . . . . . 8 |- ( G : ( Base ` S ) --> ( Base ` T ) -> G Fn ( Base ` S ) )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . 7 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> G Fn ( Base ` S ) )
40		fndmin 6324	. . . . . . 7 |- ( ( F Fn ( Base ` S ) /\ G Fn ( Base ` S ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
41	36, 39, 40	syl2an 494	. . . . . 6 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
42	41	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) -> dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } )
43		eleq2 2690	. . . . . . 7 |- ( dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } -> ( ( x ( .s ` S ) y ) e. dom ( F i^i G ) <-> ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
44	43	raleqbi1dv 3146	. . . . . 6 |- ( dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } -> ( A. y e. dom ( F i^i G ) ( x ( .s ` S ) y ) e. dom ( F i^i G ) <-> A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
45		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( F ` z ) = ( F ` y ) )
46		fveq2 6191	. . . . . . . 8 |- ( z = y -> ( G ` z ) = ( G ` y ) )
47	45, 46	eqeq12d 2637	. . . . . . 7 |- ( z = y -> ( ( F ` z ) = ( G ` z ) <-> ( F ` y ) = ( G ` y ) ) )
48	47	ralrab 3368	. . . . . 6 |- ( A. y e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) )
49	44, 48	syl6bb 276	. . . . 5 |- ( dom ( F i^i G ) = { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } -> ( A. y e. dom ( F i^i G ) ( x ( .s ` S ) y ) e. dom ( F i^i G ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) )
50	42, 49	syl 17	. . . 4 |- ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) -> ( A. y e. dom ( F i^i G ) ( x ( .s ` S ) y ) e. dom ( F i^i G ) <-> A. y e. ( Base ` S ) ( ( F ` y ) = ( G ` y ) -> ( x ( .s ` S ) y ) e. { z e. ( Base ` S ) | ( F ` z ) = ( G ` z ) } ) ) )
51	32, 50	mpbird 247	. . 3 |- ( ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) /\ x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) -> A. y e. dom ( F i^i G ) ( x ( .s ` S ) y ) e. dom ( F i^i G ) )
52	51	ralrimiva 2966	. 2 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> A. x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) A. y e. dom ( F i^i G ) ( x ( .s ` S ) y ) e. dom ( F i^i G ) )
53		lmhmeql.u	. . . 4 |- U = ( LSubSp ` S )
54	11, 13, 10, 12, 53	islss4 18962	. . 3 |- ( S e. LMod -> ( dom ( F i^i G ) e. U <-> ( dom ( F i^i G ) e. (SubGrp ` S ) /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) A. y e. dom ( F i^i G ) ( x ( .s ` S ) y ) e. dom ( F i^i G ) ) ) )
55	6, 54	syl 17	. 2 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> ( dom ( F i^i G ) e. U <-> ( dom ( F i^i G ) e. (SubGrp ` S ) /\ A. x e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) A. y e. dom ( F i^i G ) ( x ( .s ` S ) y ) e. dom ( F i^i G ) ) ) )
56	4, 52, 55	mpbir2and 957	1 |- ( ( F e. ( S LMHom T ) /\ G e. ( S LMHom T ) ) -> dom ( F i^i G ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   {crab 2916   i^i cin 3573   dom cdm 5114   Fn wfn 5883   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945  SubGrpcsubg 17588   GrpHom cghm 17657   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LMHom clmhm 19019

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-mhm 17335  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lmhm 19022

This theorem is referenced by:  lspextmo  19056