Theorem lindfmm 20166

Description: Linear independence of a family is unchanged by injective linear functions. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Feb-2015.) (Revised by Stefan O'Rear, 6-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lindfmm.b	|- B = ( Base ` S )
lindfmm.c	|- C = ( Base ` T )

Assertion

Ref	Expression
lindfmm	|- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) -> ( F LIndF S <-> ( G o. F ) LIndF T ) )

Proof of Theorem lindfmm

Dummy variables k x are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rellindf 20147	. . . . 5 |- Rel LIndF
2	1	brrelexi 5158	. . . 4 |- ( F LIndF S -> F e. _V )
3		simp3 1063	. . . 4 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) -> F : I --> B )
4		dmfex 7124	. . . 4 |- ( ( F e. _V /\ F : I --> B ) -> I e. _V )
5	2, 3, 4	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) /\ F LIndF S ) -> I e. _V )
6	5	ex 450	. 2 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) -> ( F LIndF S -> I e. _V ) )
7	1	brrelexi 5158	. . . 4 |- ( ( G o. F ) LIndF T -> ( G o. F ) e. _V )
8		f1f 6101	. . . . . 6 |- ( G : B -1-1-> C -> G : B --> C )
9		fco 6058	. . . . . 6 |- ( ( G : B --> C /\ F : I --> B ) -> ( G o. F ) : I --> C )
10	8, 9	sylan 488	. . . . 5 |- ( ( G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) -> ( G o. F ) : I --> C )
11	10	3adant1 1079	. . . 4 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) -> ( G o. F ) : I --> C )
12		dmfex 7124	. . . 4 |- ( ( ( G o. F ) e. _V /\ ( G o. F ) : I --> C ) -> I e. _V )
13	7, 11, 12	syl2anr 495	. . 3 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) /\ ( G o. F ) LIndF T ) -> I e. _V )
14	13	ex 450	. 2 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) -> ( ( G o. F ) LIndF T -> I e. _V ) )
15		eldifi 3732	. . . . . . . . 9 |- ( k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) -> k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) )
16		simpllr 799	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> G : B -1-1-> C )
17		lmhmlmod1 19033	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> S e. LMod )
18	17	ad3antrrr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> S e. LMod )
19		simprr 796	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) )
20		simprl 794	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> F : I --> B )
21		simpl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) -> x e. I )
22		ffvelrn 6357	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : I --> B /\ x e. I ) -> ( F ` x ) e. B )
23	20, 21, 22	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( F ` x ) e. B )
24		lindfmm.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( Base ` S )
25		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (Scalar ` S ) = (Scalar ` S )
26		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( .s ` S ) = ( .s ` S )
27		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Base ` (Scalar ` S ) ) = ( Base ` (Scalar ` S ) )
28	24, 25, 26, 27	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. LMod /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) /\ ( F ` x ) e. B ) -> ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. B )
29	18, 19, 23, 28	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. B )
30		imassrn 5477	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( F " ( I \ { x } ) ) C_ ran F
31		frn 6053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : I --> B -> ran F C_ B )
32	31	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : I --> B /\ I e. _V ) -> ran F C_ B )
33	30, 32	syl5ss 3614	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : I --> B /\ I e. _V ) -> ( F " ( I \ { x } ) ) C_ B )
34	33	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( F " ( I \ { x } ) ) C_ B )
35		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( LSpan ` S ) = ( LSpan ` S )
36	24, 35	lspssv 18983	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( S e. LMod /\ ( F " ( I \ { x } ) ) C_ B ) -> ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) C_ B )
37	18, 34, 36	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) C_ B )
38		f1elima 6520	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G : B -1-1-> C /\ ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. B /\ ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) C_ B ) -> ( ( G ` ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) ) e. ( G " ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) <-> ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) )
39	16, 29, 37, 38	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( ( G ` ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) ) e. ( G " ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) <-> ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) )
40		simplll 798	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> G e. ( S LMHom T ) )
41		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( .s ` T ) = ( .s ` T )
42	25, 27, 24, 26, 41	lmhmlin 19035	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) /\ ( F ` x ) e. B ) -> ( G ` ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) ) = ( k ( .s ` T ) ( G ` ( F ` x ) ) ) )
43	40, 19, 23, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( G ` ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) ) = ( k ( .s ` T ) ( G ` ( F ` x ) ) ) )
44		ffn 6045	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( F : I --> B -> F Fn I )
45	44	ad2antrl 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> F Fn I )
46		fvco2 6273	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F Fn I /\ x e. I ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
47	45, 21, 46	syl2an 494	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( ( G o. F ) ` x ) = ( G ` ( F ` x ) ) )
48	47	oveq2d 6666	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) = ( k ( .s ` T ) ( G ` ( F ` x ) ) ) )
49	43, 48	eqtr4d 2659	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( G ` ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) ) = ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) )
50		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( LSpan ` T ) = ( LSpan ` T )
51	24, 35, 50	lmhmlsp 19049	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ ( F " ( I \ { x } ) ) C_ B ) -> ( G " ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) = ( ( LSpan ` T ) ` ( G " ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) )
52	40, 34, 51	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( G " ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) = ( ( LSpan ` T ) ` ( G " ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) )
53		imaco 5640	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) = ( G " ( F " ( I \ { x } ) ) )
54	53	fveq2i 6194	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) = ( ( LSpan ` T ) ` ( G " ( F " ( I \ { x } ) ) ) )
55	52, 54	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( G " ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) = ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) )
56	49, 55	eleq12d 2695	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( ( G ` ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) ) e. ( G " ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) <-> ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
57	39, 56	bitr3d 270	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) <-> ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
58	57	notbid 308	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ ( x e. I /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) ) -> ( -. ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) <-> -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
59	58	anassrs 680	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( Base ` (Scalar ` S ) ) ) -> ( -. ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) <-> -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
60	15, 59	sylan2 491	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ x e. I ) /\ k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) ) -> ( -. ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) <-> -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
61	60	ralbidva 2985	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ x e. I ) -> ( A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) -. ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) <-> A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
62		eqid 2622	. . . . . . . . . . . 12 |- (Scalar ` T ) = (Scalar ` T )
63	25, 62	lmhmsca 19030	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> (Scalar ` T ) = (Scalar ` S ) )
64	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> ( Base ` (Scalar ` T ) ) = ( Base ` (Scalar ` S ) ) )
65	63	fveq2d 6195	. . . . . . . . . . 11 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> ( 0g ` (Scalar ` T ) ) = ( 0g ` (Scalar ` S ) ) )
66	65	sneqd 4189	. . . . . . . . . 10 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> { ( 0g ` (Scalar ` T ) ) } = { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } )
67	64, 66	difeq12d 3729	. . . . . . . . 9 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> ( ( Base ` (Scalar ` T ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` T ) ) } ) = ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) )
68	67	ad3antrrr 766	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ x e. I ) -> ( ( Base ` (Scalar ` T ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` T ) ) } ) = ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) )
69	68	raleqdv 3144	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ x e. I ) -> ( A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` T ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` T ) ) } ) -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) <-> A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
70	61, 69	bitr4d 271	. . . . . 6 |- ( ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) /\ x e. I ) -> ( A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) -. ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) <-> A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` T ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` T ) ) } ) -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
71	70	ralbidva 2985	. . . . 5 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> ( A. x e. I A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) -. ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) <-> A. x e. I A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` T ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` T ) ) } ) -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
72	17	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> S e. LMod )
73		simprr 796	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> I e. _V )
74		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` (Scalar ` S ) ) = ( 0g ` (Scalar ` S ) )
75	24, 26, 35, 25, 27, 74	islindf2 20153	. . . . . 6 |- ( ( S e. LMod /\ I e. _V /\ F : I --> B ) -> ( F LIndF S <-> A. x e. I A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) -. ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) )
76	72, 73, 20, 75	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> ( F LIndF S <-> A. x e. I A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` S ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` S ) ) } ) -. ( k ( .s ` S ) ( F ` x ) ) e. ( ( LSpan ` S ) ` ( F " ( I \ { x } ) ) ) ) )
77		lmhmlmod2 19032	. . . . . . 7 |- ( G e. ( S LMHom T ) -> T e. LMod )
78	77	ad2antrr 762	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> T e. LMod )
79	10	ad2ant2lr 784	. . . . . 6 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> ( G o. F ) : I --> C )
80		lindfmm.c	. . . . . . 7 |- C = ( Base ` T )
81		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( Base ` (Scalar ` T ) ) = ( Base ` (Scalar ` T ) )
82		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( 0g ` (Scalar ` T ) ) = ( 0g ` (Scalar ` T ) )
83	80, 41, 50, 62, 81, 82	islindf2 20153	. . . . . 6 |- ( ( T e. LMod /\ I e. _V /\ ( G o. F ) : I --> C ) -> ( ( G o. F ) LIndF T <-> A. x e. I A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` T ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` T ) ) } ) -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
84	78, 73, 79, 83	syl3anc 1326	. . . . 5 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> ( ( G o. F ) LIndF T <-> A. x e. I A. k e. ( ( Base ` (Scalar ` T ) ) \ { ( 0g ` (Scalar ` T ) ) } ) -. ( k ( .s ` T ) ( ( G o. F ) ` x ) ) e. ( ( LSpan ` T ) ` ( ( G o. F ) " ( I \ { x } ) ) ) ) )
85	71, 76, 84	3bitr4d 300	. . . 4 |- ( ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) /\ ( F : I --> B /\ I e. _V ) ) -> ( F LIndF S <-> ( G o. F ) LIndF T ) )
86	85	exp32 631	. . 3 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C ) -> ( F : I --> B -> ( I e. _V -> ( F LIndF S <-> ( G o. F ) LIndF T ) ) ) )
87	86	3impia 1261	. 2 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) -> ( I e. _V -> ( F LIndF S <-> ( G o. F ) LIndF T ) ) )
88	6, 14, 87	pm5.21ndd 369	1 |- ( ( G e. ( S LMHom T ) /\ G : B -1-1-> C /\ F : I --> B ) -> ( F LIndF S <-> ( G o. F ) LIndF T ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   {csn 4177   class class class wbr 4653   ran crn 5115   "cima 5117   o. ccom 5118   Fn wfn 5883   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971   LMHom clmhm 19019   LIndF clindf 20143

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-ghm 17658  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lmhm 19022  df-lindf 20145

This theorem is referenced by:  lindsmm  20167