Theorem lmodnegadd 18912

Description: Distribute negation through addition of scalar products. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmodnegadd.v	|- V = ( Base ` W )
lmodnegadd.p	|- .+ = ( +g ` W )
lmodnegadd.t	|- .x. = ( .s ` W )
lmodnegadd.n	|- N = ( invg ` W )
lmodnegadd.r	|- R = (Scalar ` W )
lmodnegadd.k	|- K = ( Base ` R )
lmodnegadd.i	|- I = ( invg ` R )
lmodnegadd.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lmodnegadd.a	|- ( ph -> A e. K )
lmodnegadd.b	|- ( ph -> B e. K )
lmodnegadd.x	|- ( ph -> X e. V )
lmodnegadd.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lmodnegadd	|- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )

Proof of Theorem lmodnegadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmodnegadd.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
2		lmodabl 18910	. . . 4 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> W e. Abel )
4		lmodnegadd.a	. . . 4 |- ( ph -> A e. K )
5		lmodnegadd.x	. . . 4 |- ( ph -> X e. V )
6		lmodnegadd.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
7		lmodnegadd.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` W )
8		lmodnegadd.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
9		lmodnegadd.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` R )
10	6, 7, 8, 9	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ A e. K /\ X e. V ) -> ( A .x. X ) e. V )
11	1, 4, 5, 10	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( A .x. X ) e. V )
12		lmodnegadd.b	. . . 4 |- ( ph -> B e. K )
13		lmodnegadd.y	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
14	6, 7, 8, 9	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ B e. K /\ Y e. V ) -> ( B .x. Y ) e. V )
15	1, 12, 13, 14	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( B .x. Y ) e. V )
16		lmodnegadd.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
17		lmodnegadd.n	. . . 4 |- N = ( invg ` W )
18	6, 16, 17	ablinvadd 18215	. . 3 |- ( ( W e. Abel /\ ( A .x. X ) e. V /\ ( B .x. Y ) e. V ) -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) )
19	3, 11, 15, 18	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) )
20		lmodnegadd.i	. . . 4 |- I = ( invg ` R )
21	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 5, 4	lmodvsneg 18907	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( A .x. X ) ) = ( ( I ` A ) .x. X ) )
22	6, 7, 8, 17, 9, 20, 1, 13, 12	lmodvsneg 18907	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( B .x. Y ) ) = ( ( I ` B ) .x. Y ) )
23	21, 22	oveq12d 6668	. 2 |- ( ph -> ( ( N ` ( A .x. X ) ) .+ ( N ` ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )
24	19, 23	eqtrd 2656	1 |- ( ph -> ( N ` ( ( A .x. X ) .+ ( B .x. Y ) ) ) = ( ( ( I ` A ) .x. X ) .+ ( ( I ` B ) .x. Y ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   invgcminusg 17423   Abelcabl 18194   LModclmod 18863

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865

This theorem is referenced by:  baerlem3lem1  36996