Theorem baerlem3lem1 36996

Description: Lemma for baerlem3 37002. (Contributed by NM, 9-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
baerlem3.v	|- V = ( Base ` W )
baerlem3.m	|- .- = ( -g ` W )
baerlem3.o	|- .0. = ( 0g ` W )
baerlem3.s	|- .(+) = ( LSSum ` W )
baerlem3.n	|- N = ( LSpan ` W )
baerlem3.w	|- ( ph -> W e. LVec )
baerlem3.x	|- ( ph -> X e. V )
baerlem3.c	|- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
baerlem3.d	|- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
baerlem3.y	|- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.z	|- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
baerlem3.p	|- .+ = ( +g ` W )
baerlem3.t	|- .x. = ( .s ` W )
baerlem3.r	|- R = (Scalar ` W )
baerlem3.b	|- B = ( Base ` R )
baerlem3.a	|- .+^ = ( +g ` R )
baerlem3.l	|- L = ( -g ` R )
baerlem3.q	|- Q = ( 0g ` R )
baerlem3.i	|- I = ( invg ` R )
baerlem3.a1	|- ( ph -> a e. B )
baerlem3.b1	|- ( ph -> b e. B )
baerlem3.d1	|- ( ph -> d e. B )
baerlem3.e1	|- ( ph -> e e. B )
baerlem3.j1	|- ( ph -> j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
baerlem3.j2	|- ( ph -> j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
baerlem3lem1	|- ( ph -> j = ( a .x. ( Y .- Z ) ) )

Proof of Theorem baerlem3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		baerlem3.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LVec )
2		lveclmod 19106	. . . 4 |- ( W e. LVec -> W e. LMod )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( ph -> W e. LMod )
4		baerlem3.a1	. . . 4 |- ( ph -> a e. B )
5		baerlem3.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. ( V \ { .0. } ) )
6	5	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> Y e. V )
7		baerlem3.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
8		baerlem3.r	. . . . 5 |- R = (Scalar ` W )
9		baerlem3.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
10		baerlem3.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` R )
11	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ a e. B /\ Y e. V ) -> ( a .x. Y ) e. V )
12	3, 4, 6, 11	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( a .x. Y ) e. V )
13		baerlem3.z	. . . . 5 |- ( ph -> Z e. ( V \ { .0. } ) )
14	13	eldifad 3586	. . . 4 |- ( ph -> Z e. V )
15	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ a e. B /\ Z e. V ) -> ( a .x. Z ) e. V )
16	3, 4, 14, 15	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( a .x. Z ) e. V )
17		baerlem3.p	. . . 4 |- .+ = ( +g ` W )
18		baerlem3.m	. . . 4 |- .- = ( -g ` W )
19		baerlem3.i	. . . 4 |- I = ( invg ` R )
20		eqid 2622	. . . 4 |- ( 1r ` R ) = ( 1r ` R )
21	7, 17, 18, 8, 9, 19, 20	lmodvsubval2 18918	. . 3 |- ( ( W e. LMod /\ ( a .x. Y ) e. V /\ ( a .x. Z ) e. V ) -> ( ( a .x. Y ) .- ( a .x. Z ) ) = ( ( a .x. Y ) .+ ( ( I ` ( 1r ` R ) ) .x. ( a .x. Z ) ) ) )
22	3, 12, 16, 21	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( a .x. Y ) .- ( a .x. Z ) ) = ( ( a .x. Y ) .+ ( ( I ` ( 1r ` R ) ) .x. ( a .x. Z ) ) ) )
23	7, 9, 8, 10, 18, 3, 4, 6, 14	lmodsubdi 18920	. 2 |- ( ph -> ( a .x. ( Y .- Z ) ) = ( ( a .x. Y ) .- ( a .x. Z ) ) )
24		baerlem3.j1	. . 3 |- ( ph -> j = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
25	8	lmodring 18871	. . . . . . . . 9 |- ( W e. LMod -> R e. Ring )
26	3, 25	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> R e. Ring )
27		ringgrp 18552	. . . . . . . 8 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
28	26, 27	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> R e. Grp )
29	8, 10, 20	lmod1cl 18890	. . . . . . . 8 |- ( W e. LMod -> ( 1r ` R ) e. B )
30	3, 29	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( 1r ` R ) e. B )
31	10, 19	grpinvcl 17467	. . . . . . 7 |- ( ( R e. Grp /\ ( 1r ` R ) e. B ) -> ( I ` ( 1r ` R ) ) e. B )
32	28, 30, 31	syl2anc 693	. . . . . 6 |- ( ph -> ( I ` ( 1r ` R ) ) e. B )
33		eqid 2622	. . . . . . 7 |- ( .r ` R ) = ( .r ` R )
34	7, 8, 9, 10, 33	lmodvsass 18888	. . . . . 6 |- ( ( W e. LMod /\ ( ( I ` ( 1r ` R ) ) e. B /\ a e. B /\ Z e. V ) ) -> ( ( ( I ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) a ) .x. Z ) = ( ( I ` ( 1r ` R ) ) .x. ( a .x. Z ) ) )
35	3, 32, 4, 14, 34	syl13anc 1328	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( I ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) a ) .x. Z ) = ( ( I ` ( 1r ` R ) ) .x. ( a .x. Z ) ) )
36	10, 33, 20, 19, 26, 4	ringnegl 18594	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( I ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) a ) = ( I ` a ) )
37		ringabl 18580	. . . . . . . . . . . 12 |- ( R e. Ring -> R e. Abel )
38	26, 37	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> R e. Abel )
39		baerlem3.d1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> d e. B )
40		baerlem3.e1	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> e e. B )
41		baerlem3.a	. . . . . . . . . . . 12 |- .+^ = ( +g ` R )
42	10, 41, 19	ablinvadd 18215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R e. Abel /\ d e. B /\ e e. B ) -> ( I ` ( d .+^ e ) ) = ( ( I ` d ) .+^ ( I ` e ) ) )
43	38, 39, 40, 42	syl3anc 1326	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ` ( d .+^ e ) ) = ( ( I ` d ) .+^ ( I ` e ) ) )
44		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
45		baerlem3.n	. . . . . . . . . . . . . 14 |- N = ( LSpan ` W )
46	7, 44, 45, 3, 6, 14	lspprcl 18978	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( N ` { Y , Z } ) e. ( LSubSp ` W ) )
47		baerlem3.x	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> X e. V )
48		baerlem3.c	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> -. X e. ( N ` { Y , Z } ) )
49		baerlem3.b1	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> b e. B )
50	7, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 4, 49, 6, 14	lsppreli 19090	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
51	7, 17, 9, 8, 10, 45, 3, 39, 40, 6, 14	lsppreli 19090	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
52		eqid 2622	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( invg ` W ) = ( invg ` W )
53	44, 52	lssvnegcl 18956	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { Y , Z } ) e. ( LSubSp ` W ) /\ ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) e. ( N ` { Y , Z } ) ) -> ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
54	3, 46, 51, 53	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) e. ( N ` { Y , Z } ) )
55		baerlem3.q	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- Q = ( 0g ` R )
56	10, 55	ring0cl 18569	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( R e. Ring -> Q e. B )
57	26, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> Q e. B )
58	10, 41	ringacl 18578	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ d e. B /\ e e. B ) -> ( d .+^ e ) e. B )
59	26, 39, 40, 58	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( d .+^ e ) e. B )
60		baerlem3.o	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- .0. = ( 0g ` W )
61	7, 8, 9, 55, 60	lmod0vs 18896	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( Q .x. X ) = .0. )
62	3, 47, 61	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( Q .x. X ) = .0. )
63	62	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( Q .x. X ) .+ ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) = ( .0. .+ ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) )
64		lmodgrp 18870	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( W e. LMod -> W e. Grp )
65	3, 64	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> W e. Grp )
66	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. LMod /\ b e. B /\ Z e. V ) -> ( b .x. Z ) e. V )
67	3, 49, 14, 66	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( b .x. Z ) e. V )
68	7, 17	lmodvacl 18877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( W e. LMod /\ ( a .x. Y ) e. V /\ ( b .x. Z ) e. V ) -> ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) e. V )
69	3, 12, 67, 68	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) e. V )
70	7, 17, 60	grplid 17452	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( W e. Grp /\ ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) e. V ) -> ( .0. .+ ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
71	65, 69, 70	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( .0. .+ ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
72		lmodabl 18910	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( W e. LMod -> W e. Abel )
73	3, 72	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> W e. Abel )
74	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ d e. B /\ X e. V ) -> ( d .x. X ) e. V )
75	3, 39, 47, 74	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( d .x. X ) e. V )
76	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ e e. B /\ X e. V ) -> ( e .x. X ) e. V )
77	3, 40, 47, 76	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( e .x. X ) e. V )
78	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ d e. B /\ Y e. V ) -> ( d .x. Y ) e. V )
79	3, 39, 6, 78	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( d .x. Y ) e. V )
80	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ e e. B /\ Z e. V ) -> ( e .x. Z ) e. V )
81	3, 40, 14, 80	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( e .x. Z ) e. V )
82	7, 17, 18	ablsub4 18218	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. Abel /\ ( ( d .x. X ) e. V /\ ( e .x. X ) e. V ) /\ ( ( d .x. Y ) e. V /\ ( e .x. Z ) e. V ) ) -> ( ( ( d .x. X ) .+ ( e .x. X ) ) .- ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) = ( ( ( d .x. X ) .- ( d .x. Y ) ) .+ ( ( e .x. X ) .- ( e .x. Z ) ) ) )
83	73, 75, 77, 79, 81, 82	syl122anc 1335	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( d .x. X ) .+ ( e .x. X ) ) .- ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) = ( ( ( d .x. X ) .- ( d .x. Y ) ) .+ ( ( e .x. X ) .- ( e .x. Z ) ) ) )
84	7, 17, 8, 9, 10, 41	lmodvsdir 18887	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( W e. LMod /\ ( d e. B /\ e e. B /\ X e. V ) ) -> ( ( d .+^ e ) .x. X ) = ( ( d .x. X ) .+ ( e .x. X ) ) )
85	3, 39, 40, 47, 84	syl13anc 1328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( d .+^ e ) .x. X ) = ( ( d .x. X ) .+ ( e .x. X ) ) )
86	85	oveq1d 6665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) .- ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) = ( ( ( d .x. X ) .+ ( e .x. X ) ) .- ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) )
87		baerlem3.j2	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> j = ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) )
88	7, 9, 8, 10, 18, 3, 39, 47, 6	lmodsubdi 18920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( d .x. ( X .- Y ) ) = ( ( d .x. X ) .- ( d .x. Y ) ) )
89	7, 9, 8, 10, 18, 3, 40, 47, 14	lmodsubdi 18920	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( e .x. ( X .- Z ) ) = ( ( e .x. X ) .- ( e .x. Z ) ) )
90	88, 89	oveq12d 6668	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> ( ( d .x. ( X .- Y ) ) .+ ( e .x. ( X .- Z ) ) ) = ( ( ( d .x. X ) .- ( d .x. Y ) ) .+ ( ( e .x. X ) .- ( e .x. Z ) ) ) )
91	87, 90	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> j = ( ( ( d .x. X ) .- ( d .x. Y ) ) .+ ( ( e .x. X ) .- ( e .x. Z ) ) ) )
92	83, 86, 91	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> j = ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) .- ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) )
93	7, 8, 9, 10	lmodvscl 18880	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. LMod /\ ( d .+^ e ) e. B /\ X e. V ) -> ( ( d .+^ e ) .x. X ) e. V )
94	3, 59, 47, 93	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( d .+^ e ) .x. X ) e. V )
95	7, 17	lmodvacl 18877	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( W e. LMod /\ ( d .x. Y ) e. V /\ ( e .x. Z ) e. V ) -> ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) e. V )
96	3, 79, 81, 95	syl3anc 1326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) e. V )
97	7, 17, 52, 18	grpsubval 17465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) e. V /\ ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) e. V ) -> ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) .- ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) = ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) .+ ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) ) )
98	94, 96, 97	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) .- ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) = ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) .+ ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) ) )
99	92, 24, 98	3eqtr3d 2664	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) .+ ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) ) )
100	63, 71, 99	3eqtrd 2660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( Q .x. X ) .+ ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) ) = ( ( ( d .+^ e ) .x. X ) .+ ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) ) )
101	7, 17, 8, 10, 9, 44, 1, 46, 47, 48, 50, 54, 57, 59, 100	lvecindp 19138	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( Q = ( d .+^ e ) /\ ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) ) )
102	101	simpld 475	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> Q = ( d .+^ e ) )
103	102	fveq2d 6195	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( I ` Q ) = ( I ` ( d .+^ e ) ) )
104	10, 19	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Grp /\ d e. B ) -> ( I ` d ) e. B )
105	28, 39, 104	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( I ` d ) e. B )
106	10, 19	grpinvcl 17467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( R e. Grp /\ e e. B ) -> ( I ` e ) e. B )
107	28, 40, 106	syl2anc 693	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( I ` e ) e. B )
108		baerlem3.d	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) =/= ( N ` { Z } ) )
109	101	simprd 479	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) )
110	7, 17, 9, 52, 8, 10, 19, 3, 39, 40, 6, 14	lmodnegadd 18912	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> ( ( invg ` W ) ` ( ( d .x. Y ) .+ ( e .x. Z ) ) ) = ( ( ( I ` d ) .x. Y ) .+ ( ( I ` e ) .x. Z ) ) )
111	109, 110	eqtrd 2656	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) = ( ( ( I ` d ) .x. Y ) .+ ( ( I ` e ) .x. Z ) ) )
112	7, 17, 8, 10, 9, 60, 45, 1, 5, 13, 4, 49, 105, 107, 108, 111	lvecindp2 19139	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( a = ( I ` d ) /\ b = ( I ` e ) ) )
113		oveq12 6659	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( a = ( I ` d ) /\ b = ( I ` e ) ) -> ( a .+^ b ) = ( ( I ` d ) .+^ ( I ` e ) ) )
114	112, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( a .+^ b ) = ( ( I ` d ) .+^ ( I ` e ) ) )
115	43, 103, 114	3eqtr4rd 2667	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( a .+^ b ) = ( I ` Q ) )
116	55, 19	grpinvid 17476	. . . . . . . . . 10 |- ( R e. Grp -> ( I ` Q ) = Q )
117	28, 116	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ( I ` Q ) = Q )
118	115, 117	eqtrd 2656	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( a .+^ b ) = Q )
119	10, 41, 55, 19	grpinvid1 17470	. . . . . . . . 9 |- ( ( R e. Grp /\ a e. B /\ b e. B ) -> ( ( I ` a ) = b <-> ( a .+^ b ) = Q ) )
120	28, 4, 49, 119	syl3anc 1326	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( ( I ` a ) = b <-> ( a .+^ b ) = Q ) )
121	118, 120	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( I ` a ) = b )
122	36, 121	eqtrd 2656	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( I ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) a ) = b )
123	122	oveq1d 6665	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( ( I ` ( 1r ` R ) ) ( .r ` R ) a ) .x. Z ) = ( b .x. Z ) )
124	35, 123	eqtr3d 2658	. . . 4 |- ( ph -> ( ( I ` ( 1r ` R ) ) .x. ( a .x. Z ) ) = ( b .x. Z ) )
125	124	oveq2d 6666	. . 3 |- ( ph -> ( ( a .x. Y ) .+ ( ( I ` ( 1r ` R ) ) .x. ( a .x. Z ) ) ) = ( ( a .x. Y ) .+ ( b .x. Z ) ) )
126	24, 125	eqtr4d 2659	. 2 |- ( ph -> j = ( ( a .x. Y ) .+ ( ( I ` ( 1r ` R ) ) .x. ( a .x. Z ) ) ) )
127	22, 23, 126	3eqtr4rd 2667	1 |- ( ph -> j = ( a .x. ( Y .- Z ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   .rcmulr 15942  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   invgcminusg 17423   -gcsg 17424   LSSumclsm 18049   Abelcabl 18194   1rcur 18501   Ringcrg 18547   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971   LVecclvec 19102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-mulr 15955  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-oppr 18623  df-dvdsr 18641  df-unit 18642  df-invr 18672  df-drng 18749  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lvec 19103

This theorem is referenced by:  baerlem3lem2  36999