Theorem lsatspn0 34287

Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatspn0.v	|- V = ( Base ` W )
lsatspn0.n	|- N = ( LSpan ` W )
lsatspn0.o	|- .0. = ( 0g ` W )
lsatspn0.a	|- A = (LSAtoms ` W )
isateln0.w	|- ( ph -> W e. LMod )
isateln0.x	|- ( ph -> X e. V )

Assertion

Ref	Expression
lsatspn0	|- ( ph -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> X =/= .0. ) )

Proof of Theorem lsatspn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatspn0.o	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` W )
2		lsatspn0.a	. . . 4 |- A = (LSAtoms ` W )
3		isateln0.w	. . . . 5 |- ( ph -> W e. LMod )
4	3	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) -> W e. LMod )
5		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) -> ( N ` { X } ) e. A )
6	1, 2, 4, 5	lsatn0 34286	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) -> ( N ` { X } ) =/= { .0. } )
7		sneq 4187	. . . . . . . 8 |- ( X = .0. -> { X } = { .0. } )
8	7	fveq2d 6195	. . . . . . 7 |- ( X = .0. -> ( N ` { X } ) = ( N ` { .0. } ) )
9	8	adantl 482	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) /\ X = .0. ) -> ( N ` { X } ) = ( N ` { .0. } ) )
10	4	adantr 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) /\ X = .0. ) -> W e. LMod )
11		lsatspn0.n	. . . . . . . 8 |- N = ( LSpan ` W )
12	1, 11	lspsn0 19008	. . . . . . 7 |- ( W e. LMod -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) /\ X = .0. ) -> ( N ` { .0. } ) = { .0. } )
14	9, 13	eqtrd 2656	. . . . 5 |- ( ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) /\ X = .0. ) -> ( N ` { X } ) = { .0. } )
15	14	ex 450	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) -> ( X = .0. -> ( N ` { X } ) = { .0. } ) )
16	15	necon3d 2815	. . 3 |- ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) -> ( ( N ` { X } ) =/= { .0. } -> X =/= .0. ) )
17	6, 16	mpd 15	. 2 |- ( ( ph /\ ( N ` { X } ) e. A ) -> X =/= .0. )
18		lsatspn0.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
19	3	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= .0. ) -> W e. LMod )
20		isateln0.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
21	20	adantr 481	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= .0. ) -> X e. V )
22		simpr 477	. . . 4 |- ( ( ph /\ X =/= .0. ) -> X =/= .0. )
23		eldifsn 4317	. . . 4 |- ( X e. ( V \ { .0. } ) <-> ( X e. V /\ X =/= .0. ) )
24	21, 22, 23	sylanbrc 698	. . 3 |- ( ( ph /\ X =/= .0. ) -> X e. ( V \ { .0. } ) )
25	18, 11, 1, 2, 19, 24	lsatlspsn 34280	. 2 |- ( ( ph /\ X =/= .0. ) -> ( N ` { X } ) e. A )
26	17, 25	impbida 877	1 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) e. A <-> X =/= .0. ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   \ cdif 3571   {csn 4177   ` cfv 5888   Basecbs 15857   0gc0g 16100   LModclmod 18863   LSpanclspn 18971  LSAtomsclsa 34261

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-mgp 18490  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972  df-lsatoms 34263

This theorem is referenced by:  lsator0sp  34288  lcfl8b  36793  mapdpglem5N  36966  mapdpglem30a  36984  mapdpglem30b  36985