Theorem lsppr 19093

Description: Span of a pair of vectors. (Contributed by NM, 22-Aug-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsppr.v	|- V = ( Base ` W )
lsppr.a	|- .+ = ( +g ` W )
lsppr.f	|- F = (Scalar ` W )
lsppr.k	|- K = ( Base ` F )
lsppr.t	|- .x. = ( .s ` W )
lsppr.n	|- N = ( LSpan ` W )
lsppr.w	|- ( ph -> W e. LMod )
lsppr.x	|- ( ph -> X e. V )
lsppr.y	|- ( ph -> Y e. V )

Assertion

Ref	Expression
lsppr	|- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) = { v | E. k e. K E. l e. K v = ( ( k .x. X ) .+ ( l .x. Y ) ) } )

Distinct variable groups:   k, l, .+   k, F, l   k, K, l   v, k, N, l   .x. , k, l   k, V, l   k, W, l, v   k, X, l, v   k, Y, l, v   ph, k, l, v

Allowed substitution hints:   .+ ( v)   .x. ( v)   F( v)   K( v)   V( v)

Proof of Theorem lsppr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 4180	. . 3 |- { X , Y } = ( { X } u. { Y } )
2	1	fveq2i 6194	. 2 |- ( N ` { X , Y } ) = ( N ` ( { X } u. { Y } ) )
3		lsppr.w	. . . 4 |- ( ph -> W e. LMod )
4		lsppr.x	. . . . 5 |- ( ph -> X e. V )
5	4	snssd 4340	. . . 4 |- ( ph -> { X } C_ V )
6		lsppr.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. V )
7	6	snssd 4340	. . . 4 |- ( ph -> { Y } C_ V )
8		lsppr.v	. . . . 5 |- V = ( Base ` W )
9		lsppr.n	. . . . 5 |- N = ( LSpan ` W )
10	8, 9	lspun 18987	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V /\ { Y } C_ V ) -> ( N ` ( { X } u. { Y } ) ) = ( N ` ( ( N ` { X } ) u. ( N ` { Y } ) ) ) )
11	3, 5, 7, 10	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( N ` ( { X } u. { Y } ) ) = ( N ` ( ( N ` { X } ) u. ( N ` { Y } ) ) ) )
12		eqid 2622	. . . . . 6 |- ( LSubSp ` W ) = ( LSubSp ` W )
13	8, 12, 9	lspsncl 18977	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
14	3, 4, 13	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) )
15	8, 12, 9	lspsncl 18977	. . . . 5 |- ( ( W e. LMod /\ Y e. V ) -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
16	3, 6, 15	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) )
17		eqid 2622	. . . . 5 |- ( LSSum ` W ) = ( LSSum ` W )
18	12, 9, 17	lsmsp 19086	. . . 4 |- ( ( W e. LMod /\ ( N ` { X } ) e. ( LSubSp ` W ) /\ ( N ` { Y } ) e. ( LSubSp ` W ) ) -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) = ( N ` ( ( N ` { X } ) u. ( N ` { Y } ) ) ) )
19	3, 14, 16, 18	syl3anc 1326	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) = ( N ` ( ( N ` { X } ) u. ( N ` { Y } ) ) ) )
20		lsppr.a	. . . . 5 |- .+ = ( +g ` W )
21		lsppr.f	. . . . 5 |- F = (Scalar ` W )
22		lsppr.k	. . . . 5 |- K = ( Base ` F )
23		lsppr.t	. . . . 5 |- .x. = ( .s ` W )
24	8, 20, 21, 22, 23, 17, 9, 3, 4, 6	lsmspsn 19084	. . . 4 |- ( ph -> ( v e. ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) <-> E. k e. K E. l e. K v = ( ( k .x. X ) .+ ( l .x. Y ) ) ) )
25	24	abbi2dv 2742	. . 3 |- ( ph -> ( ( N ` { X } ) ( LSSum ` W ) ( N ` { Y } ) ) = { v | E. k e. K E. l e. K v = ( ( k .x. X ) .+ ( l .x. Y ) ) } )
26	11, 19, 25	3eqtr2d 2662	. 2 |- ( ph -> ( N ` ( { X } u. { Y } ) ) = { v | E. k e. K E. l e. K v = ( ( k .x. X ) .+ ( l .x. Y ) ) } )
27	2, 26	syl5eq 2668	1 |- ( ph -> ( N ` { X , Y } ) = { v | E. k e. K E. l e. K v = ( ( k .x. X ) .+ ( l .x. Y ) ) } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1483   e. wcel 1990   {cab 2608   E.wrex 2913   u. cun 3572   C_ wss 3574   {csn 4177   {cpr 4179   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941  Scalarcsca 15944   .scvsca 15945   LSSumclsm 18049   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-ress 15865  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-submnd 17336  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-subg 17591  df-cntz 17750  df-lsm 18051  df-cmn 18195  df-abl 18196  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lspprel  19094