Theorem lspsncl 18977

Description: The span of a singleton is a subspace (frequently used special case of lspcl 18976). (Contributed by NM, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspval.v	|- V = ( Base ` W )
lspval.s	|- S = ( LSubSp ` W )
lspval.n	|- N = ( LSpan ` W )

Assertion

Ref	Expression
lspsncl	|- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. S )

Proof of Theorem lspsncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 4339	. 2 |- ( X e. V -> { X } C_ V )
2		lspval.v	. . 3 |- V = ( Base ` W )
3		lspval.s	. . 3 |- S = ( LSubSp ` W )
4		lspval.n	. . 3 |- N = ( LSpan ` W )
5	2, 3, 4	lspcl 18976	. 2 |- ( ( W e. LMod /\ { X } C_ V ) -> ( N ` { X } ) e. S )
6	1, 5	sylan2 491	1 |- ( ( W e. LMod /\ X e. V ) -> ( N ` { X } ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   C_ wss 3574   {csn 4177   ` cfv 5888   Basecbs 15857   LModclmod 18863   LSubSpclss 18932   LSpanclspn 18971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-0g 16102  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-mgp 18490  df-ur 18502  df-ring 18549  df-lmod 18865  df-lss 18933  df-lsp 18972

This theorem is referenced by:  lspsnsubg  18980  lspsneli  19001  lspsn  19002  lspsnss2  19005  lsmelval2  19085  lsmpr  19089  lsppr  19093  lspprabs  19095  lspsncmp  19116  lspsnne1  19117  lspsnne2  19118  lspabs3  19121  lspsneq  19122  lspdisj  19125  lspdisj2  19127  lspfixed  19128  lspexchn1  19130  lspindpi  19132  lsmcv  19141  lshpnel  34270  lshpnelb  34271  lshpnel2N  34272  lshpdisj  34274  lsatlss  34283  lsmsat  34295  lsatfixedN  34296  lssats  34299  lsmcv2  34316  lsat0cv  34320  lkrlsp  34389  lkrlsp3  34391  lshpsmreu  34396  lshpkrlem5  34401  dochnel  36682  djhlsmat  36716  dihjat1lem  36717  dvh3dim3N  36738  lclkrlem2b  36797  lclkrlem2f  36801  lclkrlem2p  36811  lcfrvalsnN  36830  lcfrlem23  36854  mapdsn  36930  mapdn0  36958  mapdncol  36959  mapdindp  36960  mapdpglem1  36961  mapdpglem2a  36963  mapdpglem3  36964  mapdpglem6  36967  mapdpglem8  36968  mapdpglem9  36969  mapdpglem12  36972  mapdpglem13  36973  mapdpglem14  36974  mapdpglem17N  36977  mapdpglem18  36978  mapdpglem19  36979  mapdpglem21  36981  mapdpglem23  36983  mapdpglem29  36989  mapdindp0  37008  mapdheq4lem  37020  mapdh6lem1N  37022  mapdh6lem2N  37023  mapdh6dN  37028  lspindp5  37059  hdmaplem3  37062  mapdh9a  37079  hdmap1l6lem1  37097  hdmap1l6lem2  37098  hdmap1l6d  37103  hdmap1eulem  37113  hdmap11lem2  37134  hdmapeq0  37136  hdmaprnlem1N  37141  hdmaprnlem3N  37142  hdmaprnlem3uN  37143  hdmaprnlem4N  37145  hdmaprnlem7N  37147  hdmaprnlem8N  37148  hdmaprnlem9N  37149  hdmaprnlem3eN  37150  hdmaprnlem16N  37154  hdmap14lem9  37168  hgmaprnlem2N  37189  hdmapglem7a  37219