Theorem mapfienlem1 8310

Description: Lemma 1 for mapfien 8313. (Contributed by AV, 3-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapfien.s	|- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
mapfien.t	|- T = { x e. ( D ^m C ) | x finSupp W }
mapfien.w	|- W = ( G ` Z )
mapfien.f	|- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
mapfien.g	|- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
mapfien.a	|- ( ph -> A e. _V )
mapfien.b	|- ( ph -> B e. _V )
mapfien.c	|- ( ph -> C e. _V )
mapfien.d	|- ( ph -> D e. _V )
mapfien.z	|- ( ph -> Z e. B )

Assertion

Ref	Expression
mapfienlem1	|- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W )

Distinct variable groups:   x, A   x, B   x, C   x, f, F   f, G, x   ph, f   x, D   S, f   T, f   x, W   x, Z

Allowed substitution hints:   ph( x)   A( f)   B( f)   C( f)   D( f)   S( x)   T( x)   W( f)   Z( f)

Proof of Theorem mapfienlem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapfien.w	. . . 4 |- W = ( G ` Z )
2		fvex 6201	. . . 4 |- ( G ` Z ) e. _V
3	1, 2	eqeltri 2697	. . 3 |- W e. _V
4	3	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> W e. _V )
5		mapfien.z	. . 3 |- ( ph -> Z e. B )
6	5	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> Z e. B )
7		elrabi 3359	. . . . 5 |- ( f e. { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z } -> f e. ( B ^m A ) )
8		elmapi 7879	. . . . 5 |- ( f e. ( B ^m A ) -> f : A --> B )
9	7, 8	syl 17	. . . 4 |- ( f e. { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z } -> f : A --> B )
10		mapfien.s	. . . 4 |- S = { x e. ( B ^m A ) | x finSupp Z }
11	9, 10	eleq2s 2719	. . 3 |- ( f e. S -> f : A --> B )
12		mapfien.f	. . . 4 |- ( ph -> F : C -1-1-onto-> A )
13		f1of 6137	. . . 4 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C --> A )
14	12, 13	syl 17	. . 3 |- ( ph -> F : C --> A )
15		fco 6058	. . 3 |- ( ( f : A --> B /\ F : C --> A ) -> ( f o. F ) : C --> B )
16	11, 14, 15	syl2anr 495	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( f o. F ) : C --> B )
17		mapfien.g	. . . 4 |- ( ph -> G : B -1-1-onto-> D )
18		f1of 6137	. . . 4 |- ( G : B -1-1-onto-> D -> G : B --> D )
19	17, 18	syl 17	. . 3 |- ( ph -> G : B --> D )
20	19	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> G : B --> D )
21		ssid 3624	. . 3 |- B C_ B
22	21	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> B C_ B )
23		mapfien.c	. . 3 |- ( ph -> C e. _V )
24	23	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> C e. _V )
25		mapfien.b	. . 3 |- ( ph -> B e. _V )
26	25	adantr 481	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> B e. _V )
27		breq1 4656	. . . . . 6 |- ( x = f -> ( x finSupp Z <-> f finSupp Z ) )
28	27, 10	elrab2 3366	. . . . 5 |- ( f e. S <-> ( f e. ( B ^m A ) /\ f finSupp Z ) )
29	28	simprbi 480	. . . 4 |- ( f e. S -> f finSupp Z )
30	29	adantl 482	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f finSupp Z )
31		f1of1 6136	. . . . 5 |- ( F : C -1-1-onto-> A -> F : C -1-1-> A )
32	12, 31	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F : C -1-1-> A )
33	32	adantr 481	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> F : C -1-1-> A )
34		simpr 477	. . 3 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> f e. S )
35	30, 33, 6, 34	fsuppco 8307	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( f o. F ) finSupp Z )
36	1	eqcomi 2631	. . 3 |- ( G ` Z ) = W
37	36	a1i 11	. 2 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G ` Z ) = W )
38	4, 6, 16, 20, 22, 24, 26, 35, 37	fsuppcor 8309	1 |- ( ( ph /\ f e. S ) -> ( G o. ( f o. F ) ) finSupp W )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   {crab 2916   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885   -1-1-onto->wf1o 5887   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   ^m cmap 7857   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-supp 7296  df-1o 7560  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  mapfien  8313