Theorem fsuppco 8307

Description: The composition of a 1-1 function with a finitely supported function is finitely supported. (Contributed by AV, 28-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsuppco.f	|- ( ph -> F finSupp Z )
fsuppco.g	|- ( ph -> G : X -1-1-> Y )
fsuppco.z	|- ( ph -> Z e. W )
fsuppco.v	|- ( ph -> F e. V )

Assertion

Ref	Expression
fsuppco	|- ( ph -> ( F o. G ) finSupp Z )

Proof of Theorem fsuppco

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsuppco.v	. . . . 5 |- ( ph -> F e. V )
2		fsuppco.g	. . . . . 6 |- ( ph -> G : X -1-1-> Y )
3		df-f1 5893	. . . . . . 7 |- ( G : X -1-1-> Y <-> ( G : X --> Y /\ Fun `' G ) )
4	3	simprbi 480	. . . . . 6 |- ( G : X -1-1-> Y -> Fun `' G )
5	2, 4	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> Fun `' G )
6		cofunex2g 7131	. . . . 5 |- ( ( F e. V /\ Fun `' G ) -> ( F o. G ) e. _V )
7	1, 5, 6	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ph -> ( F o. G ) e. _V )
8		fsuppco.z	. . . 4 |- ( ph -> Z e. W )
9		suppimacnv 7306	. . . 4 |- ( ( ( F o. G ) e. _V /\ Z e. W ) -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) )
10	7, 8, 9	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> ( ( F o. G ) supp Z ) = ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) )
11		suppimacnv 7306	. . . . . 6 |- ( ( F e. V /\ Z e. W ) -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
12	1, 8, 11	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ph -> ( F supp Z ) = ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) )
13		fsuppco.f	. . . . . 6 |- ( ph -> F finSupp Z )
14	13	fsuppimpd 8282	. . . . 5 |- ( ph -> ( F supp Z ) e. Fin )
15	12, 14	eqeltrrd 2702	. . . 4 |- ( ph -> ( `' F " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin )
16	15, 2	fsuppcolem 8306	. . 3 |- ( ph -> ( `' ( F o. G ) " ( _V \ { Z } ) ) e. Fin )
17	10, 16	eqeltrd 2701	. 2 |- ( ph -> ( ( F o. G ) supp Z ) e. Fin )
18		fsuppimp 8281	. . . . . 6 |- ( F finSupp Z -> ( Fun F /\ ( F supp Z ) e. Fin ) )
19	18	simpld 475	. . . . 5 |- ( F finSupp Z -> Fun F )
20	13, 19	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Fun F )
21		f1fun 6103	. . . . 5 |- ( G : X -1-1-> Y -> Fun G )
22	2, 21	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> Fun G )
23		funco 5928	. . . 4 |- ( ( Fun F /\ Fun G ) -> Fun ( F o. G ) )
24	20, 22, 23	syl2anc 693	. . 3 |- ( ph -> Fun ( F o. G ) )
25		funisfsupp 8280	. . 3 |- ( ( Fun ( F o. G ) /\ ( F o. G ) e. _V /\ Z e. W ) -> ( ( F o. G ) finSupp Z <-> ( ( F o. G ) supp Z ) e. Fin ) )
26	24, 7, 8, 25	syl3anc 1326	. 2 |- ( ph -> ( ( F o. G ) finSupp Z <-> ( ( F o. G ) supp Z ) e. Fin ) )
27	17, 26	mpbird 247	1 |- ( ph -> ( F o. G ) finSupp Z )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   {csn 4177   class class class wbr 4653   `'ccnv 5113   "cima 5117   o. ccom 5118   Fun wfun 5882   -->wf 5884   -1-1->wf1 5885  (class class class)co 6650   supp csupp 7295   Fincfn 7955   finSupp cfsupp 8275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-supp 7296  df-1o 7560  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-fin 7959  df-fsupp 8276

This theorem is referenced by:  mapfienlem1  8310  mapfienlem2  8311  coe1sfi  19583