Theorem tngngpd 22457

Description: Derive the axioms for a normed group from the axioms for a metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
tngngp.t	|- T = ( G toNrmGrp N )
tngngp.x	|- X = ( Base ` G )
tngngp.m	|- .- = ( -g ` G )
tngngp.z	|- .0. = ( 0g ` G )
tngngpd.1	|- ( ph -> G e. Grp )
tngngpd.2	|- ( ph -> N : X --> RR )
tngngpd.3	|- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
tngngpd.4	|- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tngngpd	|- ( ph -> T e. NrmGrp )

Distinct variable groups:   x, y, .-   x, N, y   x, T, y   x, X, y   ph, x, y   x, .0. , y

Allowed substitution hints:   G( x, y)

Proof of Theorem tngngpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tngngpd.1	. 2 |- ( ph -> G e. Grp )
2		tngngpd.2	. . . 4 |- ( ph -> N : X --> RR )
3		tngngp.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
4		fvex 6201	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2697	. . . . 5 |- X e. _V
6		reex 10027	. . . . 5 |- RR e. _V
7		fex2 7121	. . . . 5 |- ( ( N : X --> RR /\ X e. _V /\ RR e. _V ) -> N e. _V )
8	5, 6, 7	mp3an23 1416	. . . 4 |- ( N : X --> RR -> N e. _V )
9		tngngp.t	. . . . 5 |- T = ( G toNrmGrp N )
10		tngngp.m	. . . . 5 |- .- = ( -g ` G )
11	9, 10	tngds 22452	. . . 4 |- ( N e. _V -> ( N o. .- ) = ( dist ` T ) )
12	2, 8, 11	3syl 18	. . 3 |- ( ph -> ( N o. .- ) = ( dist ` T ) )
13		tngngp.z	. . . 4 |- .0. = ( 0g ` G )
14		tngngpd.3	. . . 4 |- ( ( ph /\ x e. X ) -> ( ( N ` x ) = 0 <-> x = .0. ) )
15		tngngpd.4	. . . 4 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. X ) ) -> ( N ` ( x .- y ) ) <_ ( ( N ` x ) + ( N ` y ) ) )
16	3, 10, 13, 1, 2, 14, 15	nrmmetd 22379	. . 3 |- ( ph -> ( N o. .- ) e. ( Met ` X ) )
17	12, 16	eqeltrrd 2702	. 2 |- ( ph -> ( dist ` T ) e. ( Met ` X ) )
18		eqid 2622	. . . 4 |- ( dist ` T ) = ( dist ` T )
19	9, 3, 18	tngngp2 22456	. . 3 |- ( N : X --> RR -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ ( dist ` T ) e. ( Met ` X ) ) ) )
20	2, 19	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( T e. NrmGrp <-> ( G e. Grp /\ ( dist ` T ) e. ( Met ` X ) ) ) )
21	1, 17, 20	mpbir2and 957	1 |- ( ph -> T e. NrmGrp )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   _Vcvv 3200   class class class wbr 4653   o. ccom 5118   -->wf 5884   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   RRcr 9935   0cc0 9936   + caddc 9939   <_ cle 10075   Basecbs 15857   distcds 15950   0gc0g 16100   Grpcgrp 17422   -gcsg 17424   Metcme 19732  NrmGrpcngp 22382   toNrmGrp ctng 22383

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013  ax-pre-sup 10014

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-sup 8348  df-inf 8349  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-div 10685  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-n0 11293  df-z 11378  df-dec 11494  df-uz 11688  df-q 11789  df-rp 11833  df-xneg 11946  df-xadd 11947  df-xmul 11948  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-tset 15960  df-ds 15964  df-rest 16083  df-topn 16084  df-0g 16102  df-topgen 16104  df-mgm 17242  df-sgrp 17284  df-mnd 17295  df-grp 17425  df-minusg 17426  df-sbg 17427  df-psmet 19738  df-xmet 19739  df-met 19740  df-bl 19741  df-mopn 19742  df-top 20699  df-topon 20716  df-topsp 20737  df-bases 20750  df-xms 22125  df-ms 22126  df-nm 22387  df-ngp 22388  df-tng 22389

This theorem is referenced by:  tngngp  22458  tngngp3  22460  tchcph  23036