Theorem oaordi 7626

Description: Ordering property of ordinal addition. Proposition 8.4 of [TakeutiZaring] p. 58. (Contributed by NM, 5-Dec-2004.)

Assertion

Ref	Expression
oaordi	|- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Proof of Theorem oaordi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onelon 5748	. . . . 5 |- ( ( B e. On /\ A e. B ) -> A e. On )
2	1	adantll 750	. . . 4 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) -> A e. On )
3		eloni 5733	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> Ord B )
4		ordsucss 7018	. . . . . . . . 9 |- ( Ord B -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
6	5	ad2antlr 763	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( A e. B -> suc A C_ B ) )
7		sucelon 7017	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On <-> suc A e. On )
8		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc A -> ( C +o x ) = ( C +o suc A ) )
9	8	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc A -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) )
10	9	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc A -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = y -> ( C +o x ) = ( C +o y ) )
12	11	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) )
13	12	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = y -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) )
14		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = suc y -> ( C +o x ) = ( C +o suc y ) )
15	14	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = suc y -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) )
16	15	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = suc y -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
17		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x = B -> ( C +o x ) = ( C +o B ) )
18	17	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = B -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) <-> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
19	18	imbi2d 330	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = B -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) <-> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) )
20		ssid 3624	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A )
21	20	2a1i 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ( suc A e. On -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc A ) ) )
22		sssucid 5802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( C +o y ) C_ suc ( C +o y )
23		sstr2 3610	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( ( C +o y ) C_ suc ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) )
24	22, 23	mpi 20	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) )
25		oasuc 7604	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ y e. On ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) )
26	25	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( C +o suc y ) = suc ( C +o y ) )
27	26	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) <-> ( C +o suc A ) C_ suc ( C +o y ) ) )
28	24, 27	syl5ibr 236	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( y e. On /\ C e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) )
29	28	ex 450	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y e. On -> ( C e. On -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
30	29	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( C e. On -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
31	30	a2d 29	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( y e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ y ) -> ( ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o suc y ) ) ) )
32		sucssel 5819	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( A e. On -> ( suc A C_ x -> A e. x ) )
33	7, 32	sylbir 225	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( suc A e. On -> ( suc A C_ x -> A e. x ) )
34		limsuc 7049	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( Lim x -> ( A e. x <-> suc A e. x ) )
35	34	biimpd 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( Lim x -> ( A e. x -> suc A e. x ) )
36	33, 35	sylan9r 690	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( Lim x /\ suc A e. On ) -> ( suc A C_ x -> suc A e. x ) )
37	36	imp 445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> suc A e. x )
38		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( y = suc A -> ( C +o y ) = ( C +o suc A ) )
39	38	ssiun2s 4564	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( suc A e. x -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
40	37, 39	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
41	40	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o suc A ) C_ U_ y e. x ( C +o y ) )
42		vex 3203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- x e. _V
43		oalim 7612	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( C e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
44	42, 43	mpanr1 719	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( C e. On /\ Lim x ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
45	44	ancoms 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( Lim x /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
46	45	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
47	46	adantlr 751	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o x ) = U_ y e. x ( C +o y ) )
48	41, 47	sseqtr4d 3642	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) /\ C e. On ) -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) )
49	48	ex 450	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) )
50	49	a1d 25	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( Lim x /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ x ) -> ( A. y e. x ( suc A C_ y -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o y ) ) ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o x ) ) ) )
51	10, 13, 16, 19, 21, 31, 50	tfindsg 7060	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( B e. On /\ suc A e. On ) /\ suc A C_ B ) -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
52	51	exp31 630	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. On -> ( suc A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
53	7, 52	syl5bi 232	. . . . . . . . 9 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C e. On -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
54	53	com4r 94	. . . . . . . 8 |- ( C e. On -> ( B e. On -> ( A e. On -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) ) ) )
55	54	imp31 448	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( suc A C_ B -> ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) ) )
56		oasuc 7604	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( C +o suc A ) = suc ( C +o A ) )
57	56	sseq1d 3632	. . . . . . . . 9 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) <-> suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) ) )
58		ovex 6678	. . . . . . . . . 10 |- ( C +o A ) e. _V
59		sucssel 5819	. . . . . . . . . 10 |- ( ( C +o A ) e. _V -> ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
60	58, 59	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- ( suc ( C +o A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
61	57, 60	syl6bi 243	. . . . . . . 8 |- ( ( C e. On /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
62	61	adantlr 751	. . . . . . 7 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( ( C +o suc A ) C_ ( C +o B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
63	6, 55, 62	3syld 60	. . . . . 6 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
64	63	imp 445	. . . . 5 |- ( ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. On ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
65	64	an32s 846	. . . 4 |- ( ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) /\ A e. On ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
66	2, 65	mpdan 702	. . 3 |- ( ( ( C e. On /\ B e. On ) /\ A e. B ) -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) )
67	66	ex 450	. 2 |- ( ( C e. On /\ B e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )
68	67	ancoms 469	1 |- ( ( B e. On /\ C e. On ) -> ( A e. B -> ( C +o A ) e. ( C +o B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   +o coa 7557

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-oadd 7564

This theorem is referenced by:  oaord  7627  oaass  7641  odi  7659