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Theorem oeeu 7683
Description: The division algorithm for ordinal exponentiation. (Contributed by Mario Carneiro, 25-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
oeeu |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> E! w E. x e. On E. y e. ( A \ 1o ) E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) )
Distinct variable groups:   x, w, y, z, A   w, B, x, y, z
Proof of Theorem oeeu
Dummy variables a b c d are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2622 . . . . . 6 |- U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } = U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) }
21oeeulem 7681 . . . . 5 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } e. On /\ ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) C_ B /\ B e. ( A ^o suc U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ) )
32simp1d 1073 . . . 4 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } e. On )
4 elex 3212 . . . 4 |- ( U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } e. On -> U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } e. _V )
53, 4syl 17 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } e. _V )
6 fvexd 6203 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( 1st ` ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) ) e. _V )
7 fvexd 6203 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( 2nd ` ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) ) e. _V )
8 eqid 2622 . . . 4 |- ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) = ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) )
9 eqid 2622 . . . 4 |- ( 1st ` ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) ) = ( 1st ` ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) )
10 eqid 2622 . . . 4 |- ( 2nd ` ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) ) = ( 2nd ` ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) )
111, 8, 9, 10oeeui 7682 . . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) <-> ( x = U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } /\ y = ( 1st ` ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) ) /\ z = ( 2nd ` ( iota d E. b e. On E. c e. ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) ( d = <. b , c >. /\ ( ( ( A ^o U. |^| { a e. On | B e. ( A ^o a ) } ) .o b ) +o c ) = B ) ) ) ) ) )
125, 6, 7, 11euotd 4975 . 2 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> E! w E. x E. y E. z ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) )
13 df-3an 1039 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ z e. ( A ^o x ) ) )
14 ancom 466 . . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ z e. ( A ^o x ) ) <-> ( z e. ( A ^o x ) /\ ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) ) )
1513, 14bitri 264 . . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) <-> ( z e. ( A ^o x ) /\ ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) ) )
1615anbi1i 731 . . . . . . . . 9 |- ( ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) <-> ( ( z e. ( A ^o x ) /\ ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) )
1716anbi2i 730 . . . . . . . 8 |- ( ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( z e. ( A ^o x ) /\ ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) )
18 an12 838 . . . . . . . 8 |- ( ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( z e. ( A ^o x ) /\ ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> ( ( z e. ( A ^o x ) /\ ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) ) /\ ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) )
19 anass 681 . . . . . . . 8 |- ( ( ( z e. ( A ^o x ) /\ ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) ) /\ ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> ( z e. ( A ^o x ) /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) ) )
2017, 18, 193bitri 286 . . . . . . 7 |- ( ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> ( z e. ( A ^o x ) /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) ) )
2120exbii 1774 . . . . . 6 |- ( E. z ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> E. z ( z e. ( A ^o x ) /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) ) )
22 df-rex 2918 . . . . . 6 |- ( E. z e. ( A ^o x ) ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> E. z ( z e. ( A ^o x ) /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) ) )
23 r19.42v 3092 . . . . . 6 |- ( E. z e. ( A ^o x ) ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) )
2421, 22, 233bitr2i 288 . . . . 5 |- ( E. z ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) )
25242exbii 1775 . . . 4 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> E. x E. y ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) )
26 r2ex 3061 . . . 4 |- ( E. x e. On E. y e. ( A \ 1o ) E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) <-> E. x E. y ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) ) /\ E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) )
2725, 26bitr4i 267 . . 3 |- ( E. x E. y E. z ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> E. x e. On E. y e. ( A \ 1o ) E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) )
2827eubii 2492 . 2 |- ( E! w E. x E. y E. z ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( x e. On /\ y e. ( A \ 1o ) /\ z e. ( A ^o x ) ) /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) ) <-> E! w E. x e. On E. y e. ( A \ 1o ) E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) )
2912, 28sylib 208 1 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> E! w E. x e. On E. y e. ( A \ 1o ) E. z e. ( A ^o x ) ( w = <. x , y , z >. /\ ( ( ( A ^o x ) .o y ) +o z ) = B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   E.wex 1704   e. wcel 1990   E!weu 2470   E.wrex 2913   {crab 2916   _Vcvv 3200   \ cdif 3571   C_ wss 3574   <.cop 4183   <.cotp 4185   U.cuni 4436   |^|cint 4475   Oncon0 5723   suc csuc 5725   iotacio 5849   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   1stc1st 7166   2ndc2nd 7167   1oc1o 7553   2oc2o 7554   +o coa 7557   .o comu 7558   ^o coe 7559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-ot 4186  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566
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