Theorem oeeulem 7681

Description: Lemma for oeeu 7683. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
oeeu.1	|- X = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) }

Assertion

Ref	Expression
oeeulem	|- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( X e. On /\ ( A ^o X ) C_ B /\ B e. ( A ^o suc X ) ) )

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hint:   X( x)

Proof of Theorem oeeulem

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oeeu.1	. . 3 |- X = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) }
2		eldifi 3732	. . . . . . . 8 |- ( B e. ( On \ 1o ) -> B e. On )
3	2	adantl 482	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> B e. On )
4		suceloni 7013	. . . . . . 7 |- ( B e. On -> suc B e. On )
5	3, 4	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> suc B e. On )
6		oeworde 7673	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ suc B e. On ) -> suc B C_ ( A ^o suc B ) )
7	5, 6	syldan 487	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> suc B C_ ( A ^o suc B ) )
8		sucidg 5803	. . . . . . . 8 |- ( B e. On -> B e. suc B )
9	3, 8	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> B e. suc B )
10	7, 9	sseldd 3604	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> B e. ( A ^o suc B ) )
11		oveq2 6658	. . . . . . . 8 |- ( x = suc B -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc B ) )
12	11	eleq2d 2687	. . . . . . 7 |- ( x = suc B -> ( B e. ( A ^o x ) <-> B e. ( A ^o suc B ) ) )
13	12	rspcev 3309	. . . . . 6 |- ( ( suc B e. On /\ B e. ( A ^o suc B ) ) -> E. x e. On B e. ( A ^o x ) )
14	5, 10, 13	syl2anc 693	. . . . 5 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> E. x e. On B e. ( A ^o x ) )
15		onintrab2 7002	. . . . 5 |- ( E. x e. On B e. ( A ^o x ) <-> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. On )
16	14, 15	sylib 208	. . . 4 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. On )
17		onuni 6993	. . . 4 |- ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. On -> U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. On )
18	16, 17	syl 17	. . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. On )
19	1, 18	syl5eqel 2705	. 2 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> X e. On )
20		sucidg 5803	. . . . . . 7 |- ( X e. On -> X e. suc X )
21	19, 20	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> X e. suc X )
22		dif1o 7580	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. ( On \ 1o ) <-> ( B e. On /\ B =/= (/) ) )
23	22	simprbi 480	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. ( On \ 1o ) -> B =/= (/) )
24	23	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> B =/= (/) )
25		ssrab2 3687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { x e. On | B e. ( A ^o x ) } C_ On
26		rabn0 3958	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( { x e. On | B e. ( A ^o x ) } =/= (/) <-> E. x e. On B e. ( A ^o x ) )
27	14, 26	sylibr 224	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> { x e. On | B e. ( A ^o x ) } =/= (/) )
28		onint 6995	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( { x e. On | B e. ( A ^o x ) } C_ On /\ { x e. On | B e. ( A ^o x ) } =/= (/) ) -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
29	25, 27, 28	sylancr 695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
30		eleq1 2689	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) -> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> (/) e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) )
31	29, 30	syl5ibcom 235	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) -> (/) e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) )
32		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
33	32	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( x = (/) -> ( B e. ( A ^o x ) <-> B e. ( A ^o (/) ) ) )
34	33	elrab 3363	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( (/) e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> ( (/) e. On /\ B e. ( A ^o (/) ) ) )
35	34	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( (/) e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> B e. ( A ^o (/) ) )
36		eldifi 3732	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> A e. On )
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> A e. On )
38		oe0 7602	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( A ^o (/) ) = 1o )
40	39	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( B e. ( A ^o (/) ) <-> B e. 1o ) )
41		el1o 7579	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( B e. 1o <-> B = (/) )
42	40, 41	syl6bb 276	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( B e. ( A ^o (/) ) <-> B = (/) ) )
43	35, 42	syl5ib 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( (/) e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> B = (/) ) )
44	31, 43	syld 47	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) -> B = (/) ) )
45	44	necon3ad 2807	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( B =/= (/) -> -. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) ) )
46	24, 45	mpd 15	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> -. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) )
47		limuni 5785	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
48	47, 1	syl6eqr 2674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = X )
49	48	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = X )
50	29	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
51	49, 50	eqeltrrd 2702	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> X e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
52		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( y = X -> ( A ^o y ) = ( A ^o X ) )
53	52	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( y = X -> ( B e. ( A ^o y ) <-> B e. ( A ^o X ) ) )
54		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
55	54	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x = y -> ( B e. ( A ^o x ) <-> B e. ( A ^o y ) ) )
56	55	cbvrabv 3199	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = { y e. On | B e. ( A ^o y ) }
57	53, 56	elrab2 3366	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> ( X e. On /\ B e. ( A ^o X ) ) )
58	57	simprbi 480	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( X e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> B e. ( A ^o X ) )
59	51, 58	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> B e. ( A ^o X ) )
60	36	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> A e. On )
61		limeq 5735	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = X -> ( Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> Lim X ) )
62	48, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> ( Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> Lim X ) )
63	62	ibi 256	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> Lim X )
64	19, 63	anim12i 590	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> ( X e. On /\ Lim X ) )
65		dif20el 7585	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. ( On \ 2o ) -> (/) e. A )
66	65	ad2antrr 762	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> (/) e. A )
67		oelim 7614	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. On /\ ( X e. On /\ Lim X ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o X ) = U_ y e. X ( A ^o y ) )
68	60, 64, 66, 67	syl21anc 1325	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> ( A ^o X ) = U_ y e. X ( A ^o y ) )
69	59, 68	eleqtrd 2703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> B e. U_ y e. X ( A ^o y ) )
70		eliun 4524	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. U_ y e. X ( A ^o y ) <-> E. y e. X B e. ( A ^o y ) )
71	69, 70	sylib 208	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> E. y e. X B e. ( A ^o y ) )
72	19	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> X e. On )
73		onss 6990	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( X e. On -> X C_ On )
74	72, 73	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> X C_ On )
75	74	sselda 3603	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) /\ y e. X ) -> y e. On )
76	49	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> ( y e. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> y e. X ) )
77	76	biimpar 502	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) /\ y e. X ) -> y e. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
78	55	onnminsb 7004	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. On -> ( y e. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> -. B e. ( A ^o y ) ) )
79	75, 77, 78	sylc 65	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) /\ y e. X ) -> -. B e. ( A ^o y ) )
80	79	nrexdv 3001	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) /\ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) -> -. E. y e. X B e. ( A ^o y ) )
81	71, 80	pm2.65da 600	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> -. Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
82		ioran 511	. . . . . . . . . 10 |- ( -. ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) \/ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) <-> ( -. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) /\ -. Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) )
83	46, 81, 82	sylanbrc 698	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> -. ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) \/ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) )
84		eloni 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } e. On -> Ord |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
85		unizlim 5844	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) \/ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) ) )
86	16, 84, 85	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = (/) \/ Lim |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) ) )
87	83, 86	mtbird 315	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> -. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
88		orduniorsuc 7030	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } \/ |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = suc U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) )
89	16, 84, 88	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } \/ |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = suc U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) )
90	89	ord 392	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( -. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = suc U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } ) )
91	87, 90	mpd 15	. . . . . . 7 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = suc U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
92		suceq 5790	. . . . . . . 8 |- ( X = U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> suc X = suc U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
93	1, 92	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- suc X = suc U. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) }
94	91, 93	syl6reqr 2675	. . . . . 6 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> suc X = |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
95	21, 94	eleqtrd 2703	. . . . 5 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> X e. |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
96	56	inteqi 4479	. . . . 5 |- |^| { x e. On | B e. ( A ^o x ) } = |^| { y e. On | B e. ( A ^o y ) }
97	95, 96	syl6eleq 2711	. . . 4 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> X e. |^| { y e. On | B e. ( A ^o y ) } )
98	53	onnminsb 7004	. . . 4 |- ( X e. On -> ( X e. |^| { y e. On | B e. ( A ^o y ) } -> -. B e. ( A ^o X ) ) )
99	19, 97, 98	sylc 65	. . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> -. B e. ( A ^o X ) )
100		oecl 7617	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ X e. On ) -> ( A ^o X ) e. On )
101	37, 19, 100	syl2anc 693	. . . 4 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( A ^o X ) e. On )
102		ontri1 5757	. . . 4 |- ( ( ( A ^o X ) e. On /\ B e. On ) -> ( ( A ^o X ) C_ B <-> -. B e. ( A ^o X ) ) )
103	101, 3, 102	syl2anc 693	. . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( ( A ^o X ) C_ B <-> -. B e. ( A ^o X ) ) )
104	99, 103	mpbird 247	. 2 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( A ^o X ) C_ B )
105	94, 29	eqeltrd 2701	. . 3 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> suc X e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } )
106		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( y = suc X -> ( A ^o y ) = ( A ^o suc X ) )
107	106	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( y = suc X -> ( B e. ( A ^o y ) <-> B e. ( A ^o suc X ) ) )
108	107, 56	elrab2 3366	. . . 4 |- ( suc X e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } <-> ( suc X e. On /\ B e. ( A ^o suc X ) ) )
109	108	simprbi 480	. . 3 |- ( suc X e. { x e. On | B e. ( A ^o x ) } -> B e. ( A ^o suc X ) )
110	105, 109	syl 17	. 2 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> B e. ( A ^o suc X ) )
111	19, 104, 110	3jca 1242	1 |- ( ( A e. ( On \ 2o ) /\ B e. ( On \ 1o ) ) -> ( X e. On /\ ( A ^o X ) C_ B /\ B e. ( A ^o suc X ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 196   \/ wo 383   /\ wa 384   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   E.wrex 2913   {crab 2916   \ cdif 3571   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U.cuni 4436   |^|cint 4475   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   2oc2o 7554   ^o coe 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566

This theorem is referenced by:  oeeui  7682  oeeu  7683