Theorem oen0 7666

Description: Ordinal exponentiation with a nonzero mantissa is nonzero. Proposition 8.32 of [TakeutiZaring] p. 67. (Contributed by NM, 4-Jan-2005.)

Assertion

Ref	Expression
oen0	|- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )

Proof of Theorem oen0

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = (/) -> ( A ^o x ) = ( A ^o (/) ) )
2	1	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( x = (/) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o (/) ) ) )
3		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( A ^o x ) = ( A ^o y ) )
4	3	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( x = y -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o y ) ) )
5		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = suc y -> ( A ^o x ) = ( A ^o suc y ) )
6	5	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( x = suc y -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o suc y ) ) )
7		oveq2 6658	. . . . . 6 |- ( x = B -> ( A ^o x ) = ( A ^o B ) )
8	7	eleq2d 2687	. . . . 5 |- ( x = B -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> (/) e. ( A ^o B ) ) )
9		0lt1o 7584	. . . . . . 7 |- (/) e. 1o
10		oe0 7602	. . . . . . 7 |- ( A e. On -> ( A ^o (/) ) = 1o )
11	9, 10	syl5eleqr 2708	. . . . . 6 |- ( A e. On -> (/) e. ( A ^o (/) ) )
12	11	adantr 481	. . . . 5 |- ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o (/) ) )
13		simpl 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> A e. On )
14		oecl 7617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o y ) e. On )
15	13, 14	jca 554	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) )
16		omordi 7646	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
17		om0 7597	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( A ^o y ) .o (/) ) = (/) )
18	17	eleq1d 2686	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^o y ) e. On -> ( ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
19	18	ad2antlr 763	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( ( ( A ^o y ) .o (/) ) e. ( ( A ^o y ) .o A ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
20	16, 19	sylibd 229	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ ( A ^o y ) e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
21	15, 20	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
22		oesuc 7607	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( A ^o suc y ) = ( ( A ^o y ) .o A ) )
23	22	eleq2d 2687	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. On ) -> ( (/) e. ( A ^o suc y ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
24	23	adantr 481	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. ( A ^o suc y ) <-> (/) e. ( ( A ^o y ) .o A ) ) )
25	21, 24	sylibrd 249	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( A e. On /\ y e. On ) /\ (/) e. ( A ^o y ) ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) )
26	25	exp31 630	. . . . . . . 8 |- ( A e. On -> ( y e. On -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
27	26	com12 32	. . . . . . 7 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
28	27	com34 91	. . . . . 6 |- ( y e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. A -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) ) )
29	28	impd 447	. . . . 5 |- ( y e. On -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o suc y ) ) ) )
30		0ellim 5787	. . . . . . . . . . . 12 |- ( Lim x -> (/) e. x )
31		eqimss2 3658	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A ^o (/) ) = 1o -> 1o C_ ( A ^o (/) ) )
32	10, 31	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. On -> 1o C_ ( A ^o (/) ) )
33		oveq2 6658	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( y = (/) -> ( A ^o y ) = ( A ^o (/) ) )
34	33	sseq2d 3633	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y = (/) -> ( 1o C_ ( A ^o y ) <-> 1o C_ ( A ^o (/) ) ) )
35	34	rspcev 3309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. x /\ 1o C_ ( A ^o (/) ) ) -> E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) )
36	30, 32, 35	syl2an 494	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) )
37		ssiun 4562	. . . . . . . . . . 11 |- ( E. y e. x 1o C_ ( A ^o y ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
38	36, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
39	38	adantrr 753	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> 1o C_ U_ y e. x ( A ^o y ) )
40		vex 3203	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
41		oelim 7614	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( A e. On /\ ( x e. _V /\ Lim x ) ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
42	40, 41	mpanlr1 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( A e. On /\ Lim x ) /\ (/) e. A ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
43	42	anasss 679	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ ( Lim x /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
44	43	an12s 843	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( A ^o x ) = U_ y e. x ( A ^o y ) )
45	39, 44	sseqtr4d 3642	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> 1o C_ ( A ^o x ) )
46		limelon 5788	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. _V /\ Lim x ) -> x e. On )
47	40, 46	mpan 706	. . . . . . . . . . 11 |- ( Lim x -> x e. On )
48		oecl 7617	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. On /\ x e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
49	48	ancoms 469	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. On /\ A e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
50	47, 49	sylan 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( A ^o x ) e. On )
51		eloni 5733	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A ^o x ) e. On -> Ord ( A ^o x ) )
52		ordgt0ge1 7577	. . . . . . . . . 10 |- ( Ord ( A ^o x ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
53	50, 51, 52	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( Lim x /\ A e. On ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
54	53	adantrr 753	. . . . . . . 8 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> ( (/) e. ( A ^o x ) <-> 1o C_ ( A ^o x ) ) )
55	45, 54	mpbird 247	. . . . . . 7 |- ( ( Lim x /\ ( A e. On /\ (/) e. A ) ) -> (/) e. ( A ^o x ) )
56	55	ex 450	. . . . . 6 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o x ) ) )
57	56	a1dd 50	. . . . 5 |- ( Lim x -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> ( A. y e. x (/) e. ( A ^o y ) -> (/) e. ( A ^o x ) ) ) )
58	2, 4, 6, 8, 12, 29, 57	tfinds3 7064	. . . 4 |- ( B e. On -> ( ( A e. On /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) ) )
59	58	expd 452	. . 3 |- ( B e. On -> ( A e. On -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o B ) ) ) )
60	59	com12 32	. 2 |- ( A e. On -> ( B e. On -> ( (/) e. A -> (/) e. ( A ^o B ) ) ) )
61	60	imp31 448	1 |- ( ( ( A e. On /\ B e. On ) /\ (/) e. A ) -> (/) e. ( A ^o B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   A.wral 2912   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   C_ wss 3574   (/)c0 3915   U_ciun 4520   Ord word 5722   Oncon0 5723   Lim wlim 5724   suc csuc 5725  (class class class)co 6650   1oc1o 7553   .o comu 7558   ^o coe 7559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-oadd 7564  df-omul 7565  df-oexp 7566

This theorem is referenced by:  oeordi  7667  oeordsuc  7674  oeoelem  7678  oelimcl  7680  oeeui  7682  cantnflt  8569  cnfcom  8597  infxpenc  8841  infxpenc2  8845