Theorem om2uzrani 12751

Description: Range of G (see om2uz0i 12746). (Contributed by NM, 3-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Sep-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
om2uz.1	|- C e. ZZ
om2uz.2	|- G = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , C ) |` om )

Assertion

Ref	Expression
om2uzrani	|- ran G = ( ZZ>= ` C )

Distinct variable group:   x, C

Allowed substitution hint:   G( x)

Proof of Theorem om2uzrani

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frfnom 7530	. . . . . 6 |- ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , C ) |` om ) Fn om
2		om2uz.2	. . . . . . 7 |- G = ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , C ) |` om )
3	2	fneq1i 5985	. . . . . 6 |- ( G Fn om <-> ( rec ( ( x e. _V |-> ( x + 1 ) ) , C ) |` om ) Fn om )
4	1, 3	mpbir 221	. . . . 5 |- G Fn om
5		fvelrnb 6243	. . . . 5 |- ( G Fn om -> ( y e. ran G <-> E. z e. om ( G ` z ) = y ) )
6	4, 5	ax-mp 5	. . . 4 |- ( y e. ran G <-> E. z e. om ( G ` z ) = y )
7		om2uz.1	. . . . . . 7 |- C e. ZZ
8	7, 2	om2uzuzi 12748	. . . . . 6 |- ( z e. om -> ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) )
9		eleq1 2689	. . . . . 6 |- ( ( G ` z ) = y -> ( ( G ` z ) e. ( ZZ>= ` C ) <-> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
10	8, 9	syl5ibcom 235	. . . . 5 |- ( z e. om -> ( ( G ` z ) = y -> y e. ( ZZ>= ` C ) ) )
11	10	rexlimiv 3027	. . . 4 |- ( E. z e. om ( G ` z ) = y -> y e. ( ZZ>= ` C ) )
12	6, 11	sylbi 207	. . 3 |- ( y e. ran G -> y e. ( ZZ>= ` C ) )
13		eleq1 2689	. . . 4 |- ( z = C -> ( z e. ran G <-> C e. ran G ) )
14		eleq1 2689	. . . 4 |- ( z = y -> ( z e. ran G <-> y e. ran G ) )
15		eleq1 2689	. . . 4 |- ( z = ( y + 1 ) -> ( z e. ran G <-> ( y + 1 ) e. ran G ) )
16	7, 2	om2uz0i 12746	. . . . 5 |- ( G ` (/) ) = C
17		peano1 7085	. . . . . 6 |- (/) e. om
18		fnfvelrn 6356	. . . . . 6 |- ( ( G Fn om /\ (/) e. om ) -> ( G ` (/) ) e. ran G )
19	4, 17, 18	mp2an 708	. . . . 5 |- ( G ` (/) ) e. ran G
20	16, 19	eqeltrri 2698	. . . 4 |- C e. ran G
21	7, 2	om2uzsuci 12747	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( G ` suc z ) = ( ( G ` z ) + 1 ) )
22		oveq1 6657	. . . . . . . . 9 |- ( ( G ` z ) = y -> ( ( G ` z ) + 1 ) = ( y + 1 ) )
23	21, 22	sylan9eq 2676	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ( G ` z ) = y ) -> ( G ` suc z ) = ( y + 1 ) )
24		peano2 7086	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. om -> suc z e. om )
25		fnfvelrn 6356	. . . . . . . . . 10 |- ( ( G Fn om /\ suc z e. om ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
26	4, 24, 25	sylancr 695	. . . . . . . . 9 |- ( z e. om -> ( G ` suc z ) e. ran G )
27	26	adantr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. om /\ ( G ` z ) = y ) -> ( G ` suc z ) e. ran G )
28	23, 27	eqeltrrd 2702	. . . . . . 7 |- ( ( z e. om /\ ( G ` z ) = y ) -> ( y + 1 ) e. ran G )
29	28	rexlimiva 3028	. . . . . 6 |- ( E. z e. om ( G ` z ) = y -> ( y + 1 ) e. ran G )
30	6, 29	sylbi 207	. . . . 5 |- ( y e. ran G -> ( y + 1 ) e. ran G )
31	30	a1i 11	. . . 4 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> ( y e. ran G -> ( y + 1 ) e. ran G ) )
32	7, 13, 14, 15, 14, 20, 31	uzind4i 11750	. . 3 |- ( y e. ( ZZ>= ` C ) -> y e. ran G )
33	12, 32	impbii 199	. 2 |- ( y e. ran G <-> y e. ( ZZ>= ` C ) )
34	33	eqriv 2619	1 |- ran G = ( ZZ>= ` C )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 196   /\ wa 384   = wceq 1483   e. wcel 1990   E.wrex 2913   _Vcvv 3200   (/)c0 3915   |-> cmpt 4729   ran crn 5115   |` cres 5116   suc csuc 5725   Fn wfn 5883   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   omcom 7065   reccrdg 7505   1c1 9937   + caddc 9939   ZZcz 11377   ZZ>=cuz 11687

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-n0 11293  df-z 11378  df-uz 11688

This theorem is referenced by:  om2uzf1oi  12752