Theorem omina 9513

Description: om is a strongly inaccessible cardinal. (Many definitions of "inaccessible" explicitly disallow om as an inaccessible cardinal, but this choice allows us to reuse our results for inaccessibles for om.) (Contributed by Mario Carneiro, 29-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
omina	|- om e. Inacc

Proof of Theorem omina

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1 7085	. . 3 |- (/) e. om
2	1	ne0ii 3923	. 2 |- om =/= (/)
3		cfom 9086	. 2 |- ( cf ` om ) = om
4		nnfi 8153	. . . . 5 |- ( x e. om -> x e. Fin )
5		pwfi 8261	. . . . 5 |- ( x e. Fin <-> ~P x e. Fin )
6	4, 5	sylib 208	. . . 4 |- ( x e. om -> ~P x e. Fin )
7		isfinite 8549	. . . 4 |- ( ~P x e. Fin <-> ~P x ~< om )
8	6, 7	sylib 208	. . 3 |- ( x e. om -> ~P x ~< om )
9	8	rgen 2922	. 2 |- A. x e. om ~P x ~< om
10		elina 9509	. 2 |- ( om e. Inacc <-> ( om =/= (/) /\ ( cf ` om ) = om /\ A. x e. om ~P x ~< om ) )
11	2, 3, 9, 10	mpbir3an 1244	1 |- om e. Inacc

Syntax hints:   = wceq 1483   e. wcel 1990   =/= wne 2794   A.wral 2912   (/)c0 3915   ~Pcpw 4158   class class class wbr 4653   ` cfv 5888   omcom 7065   ~< csdm 7954   Fincfn 7955   cfccf 8763   Inacccina 9505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-rep 4771  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-inf2 8538

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rmo 2920  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-int 4476  df-iun 4522  df-iin 4523  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-se 5074  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-isom 5897  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-1st 7168  df-2nd 7169  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-1o 7560  df-2o 7561  df-oadd 7564  df-er 7742  df-map 7859  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959  df-card 8765  df-cf 8767  df-ina 9507

This theorem is referenced by:  r1omALT  9598  r1omtsk  9601