Theorem nnfi 8153

Description: Natural numbers are finite sets. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
nnfi	|- ( A e. om -> A e. Fin )

Proof of Theorem nnfi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onfin2 8152	. . 3 |- om = ( On i^i Fin )
2		inss2 3834	. . 3 |- ( On i^i Fin ) C_ Fin
3	1, 2	eqsstri 3635	. 2 |- om C_ Fin
4	3	sseli 3599	1 |- ( A e. om -> A e. Fin )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1990   i^i cin 3573   Oncon0 5723   omcom 7065   Fincfn 7955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-ral 2917  df-rex 2918  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-br 4654  df-opab 4713  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-om 7066  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-fin 7959

This theorem is referenced by:  cardnn  8789  en2eqpr  8830  en2eleq  8831  infxpenlem  8836  dfac12k  8969  pwsdompw  9026  ackbij2lem1  9041  ackbij1lem3  9044  ackbij1lem5  9046  ackbij1lem14  9055  ackbij1b  9061  fin23lem23  9148  fin23lem22  9149  domtriomlem  9264  gchcda1  9478  gch2  9497  omina  9513  hashgval2  13167  hashdom  13168  hashp1i  13191  hash1snb  13207  hash2pr  13251  pr2pwpr  13261  hash3tr  13272  xpsfrnel  16223  symggen  17890  psgnunilem1  17913  lt6abl  18296  znfld  19909  frgpcyg  19922  xpsmet  22187  xpsxms  22339  xpsms  22340  isppw  24840  finxpreclem4  33231  harinf  37601  frlmpwfi  37668