Theorem omndaddr 29707

Description: In a right ordered monoid, the ordering is compatible with group addition. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jan-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
omndadd.0	|- B = ( Base ` M )
omndadd.1	|- .<_ = ( le ` M )
omndadd.2	|- .+ = ( +g ` M )

Assertion

Ref	Expression
omndaddr	|- ( ( (oppg ` M ) e. oMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( Z .+ X ) .<_ ( Z .+ Y ) )

Proof of Theorem omndaddr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2622	. . . 4 |- (oppg ` M ) = (oppg ` M )
2		omndadd.0	. . . 4 |- B = ( Base ` M )
3	1, 2	oppgbas 17781	. . 3 |- B = ( Base ` (oppg ` M ) )
4		omndadd.1	. . . 4 |- .<_ = ( le ` M )
5	1, 4	oppgle 29653	. . 3 |- .<_ = ( le ` (oppg ` M ) )
6		eqid 2622	. . 3 |- ( +g ` (oppg ` M ) ) = ( +g ` (oppg ` M ) )
7	3, 5, 6	omndadd 29706	. 2 |- ( ( (oppg ` M ) e. oMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( X ( +g ` (oppg ` M ) ) Z ) .<_ ( Y ( +g ` (oppg ` M ) ) Z ) )
8		omndadd.2	. . 3 |- .+ = ( +g ` M )
9	8, 1, 6	oppgplus 17779	. 2 |- ( X ( +g ` (oppg ` M ) ) Z ) = ( Z .+ X )
10	8, 1, 6	oppgplus 17779	. 2 |- ( Y ( +g ` (oppg ` M ) ) Z ) = ( Z .+ Y )
11	7, 9, 10	3brtr3g 4686	1 |- ( ( (oppg ` M ) e. oMnd /\ ( X e. B /\ Y e. B /\ Z e. B ) /\ X .<_ Y ) -> ( Z .+ X ) .<_ ( Z .+ Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1037   = wceq 1483   e. wcel 1990   class class class wbr 4653   ` cfv 5888  (class class class)co 6650   Basecbs 15857   +g cplusg 15941   lecple 15948  opp_gcoppg 17775  oMndcomnd 29697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1722  ax-4 1737  ax-5 1839  ax-6 1888  ax-7 1935  ax-8 1992  ax-9 1999  ax-10 2019  ax-11 2034  ax-12 2047  ax-13 2246  ax-ext 2602  ax-sep 4781  ax-nul 4789  ax-pow 4843  ax-pr 4906  ax-un 6949  ax-cnex 9992  ax-resscn 9993  ax-1cn 9994  ax-icn 9995  ax-addcl 9996  ax-addrcl 9997  ax-mulcl 9998  ax-mulrcl 9999  ax-mulcom 10000  ax-addass 10001  ax-mulass 10002  ax-distr 10003  ax-i2m1 10004  ax-1ne0 10005  ax-1rid 10006  ax-rnegex 10007  ax-rrecex 10008  ax-cnre 10009  ax-pre-lttri 10010  ax-pre-lttrn 10011  ax-pre-ltadd 10012  ax-pre-mulgt0 10013

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-or 385  df-an 386  df-3or 1038  df-3an 1039  df-tru 1486  df-ex 1705  df-nf 1710  df-sb 1881  df-eu 2474  df-mo 2475  df-clab 2609  df-cleq 2615  df-clel 2618  df-nfc 2753  df-ne 2795  df-nel 2898  df-ral 2917  df-rex 2918  df-reu 2919  df-rab 2921  df-v 3202  df-sbc 3436  df-csb 3534  df-dif 3577  df-un 3579  df-in 3581  df-ss 3588  df-pss 3590  df-nul 3916  df-if 4087  df-pw 4160  df-sn 4178  df-pr 4180  df-tp 4182  df-op 4184  df-uni 4437  df-iun 4522  df-br 4654  df-opab 4713  df-mpt 4730  df-tr 4753  df-id 5024  df-eprel 5029  df-po 5035  df-so 5036  df-fr 5073  df-we 5075  df-xp 5120  df-rel 5121  df-cnv 5122  df-co 5123  df-dm 5124  df-rn 5125  df-res 5126  df-ima 5127  df-pred 5680  df-ord 5726  df-on 5727  df-lim 5728  df-suc 5729  df-iota 5851  df-fun 5890  df-fn 5891  df-f 5892  df-f1 5893  df-fo 5894  df-f1o 5895  df-fv 5896  df-riota 6611  df-ov 6653  df-oprab 6654  df-mpt2 6655  df-om 7066  df-tpos 7352  df-wrecs 7407  df-recs 7468  df-rdg 7506  df-er 7742  df-en 7956  df-dom 7957  df-sdom 7958  df-pnf 10076  df-mnf 10077  df-xr 10078  df-ltxr 10079  df-le 10080  df-sub 10268  df-neg 10269  df-nn 11021  df-2 11079  df-3 11080  df-4 11081  df-5 11082  df-6 11083  df-7 11084  df-8 11085  df-9 11086  df-dec 11494  df-ndx 15860  df-slot 15861  df-base 15863  df-sets 15864  df-plusg 15954  df-ple 15961  df-oppg 17776  df-omnd 29699

This theorem is referenced by:  omndadd2rd  29709